Интеграл (аналитические функции, комплексная область...)

[bundos]

Пусть функция $f(z)$- аналитическая на отрезке $a\leqslant z\leqslant b$ вещественной оси и принимает на нём вещественный значения. Пусть, далее, $L$- некоторая замкнутая непрерывная кривая, содержащая внутри области, ограничиваемой ею, отреpзок $a\leqslant z\leqslant b$, причём в этой области $f(z)$ регулярна. Показать, что, каковы бы ни были точки $z_1, z_2, \ldots, z_n$ отрезка $a\leqslant z\leqslant b$, всегда найдётся такая точка $z_0$,$a\leqslant z_0\leqslant b$, что

$$\int\limits_L\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)\ldots (z-z_n)}dz=\int\limits_L\frac{f(z)}{(z-z_0)^n}dz$$

[ewert]

Сумма вычетов в левой части -- это разделённая разность порядка $(n-1)$ функции $f(x)$, построенная по узлам $z_1,\ldots,z_n$. А вычет в правой части -- это $(n-1)$-ая производная в точке $z_0$, делённая на соответствующий факториал. Ну так разделённая разность и впрямь совпадает с производной на факториал в некоторой точке, лежащей где-то между узлами.

(Для доказательства достаточно применить $(n-1)$ раз теорему Ролля к разности $L_{n-1}(x)-f(x)$, где $L_{n-1}(x)$ -- интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по узлам $z_1,\ldots,z_n$).

[bundos]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #431385 писал(а):

$L_{n-1}(x)$ -- интерполяционный многочлен Лагранжа

Я, просто, не знаю, что это такое... подскажите, где про них почитать можно.