Формула Иенсена

[bundos]

В задачи просят доказать формулу Иенсена: Пусть функция $f(z)$, мероморфная в круге $|z|\leqslant1$, регулярна и отлична от нуля в центре и на окружности этого круга. Пусть далее она имеет в этом круге нули $a_1, a_2,\ldots , a_m$ и полюсы $b_1, b_2,\ldots ,b_m$ ( где нуль или полюс $r$-ой кратности выписан $r$ раз). Тогда имеет место формула Иенсена.

$$\ln |f(0)|+ \ln \frac1{|a_1|}+\ldots \ln \frac1{|a_m|}-\ln\frac1{|b_1|}-\ln\frac1{|b_2|}-\ldots-\ln\frac1{|b_n|}=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\ln|f(e^{i\theta})|d\theta$$

(Оффтоп)

Рассматривал функцию $f(z)=\frac{\mathop\mathrm{Ln}f(z)}{iz}$Тогда $\int\limits_0^{2\pi}\ln|f(e^{i\theta})|d\theta=\mathop\mathrm{Re}\int\limits_{|z|=1}\frac{\mathop\mathrm{Ln}f(z)}{iz}dz$ Далее выкалываю нули и полюса и интегрирую по окружностям $C_r$ и по нижнему и верхнему берегу отрезка, соединяющего окр с точкой $a_i$, разность интегралов на двух берегах получается $[\mathop\mathrm{Arg}f(\psi)-\mathop\mathrm{Arg}f(\psi e^{2i\pi})]\int\limits_1^2\frac{dz}{iz}$
А вот чему равна разность этих аргументов и как от точки $a_i$ До окружности проинтегрировать?
Далее пытался проинтегрировать по окружности, там получилось $\mathop\mathrm{Re}\int\limits_{C_r}\frac{\ln|f(re^{i\theta})|+i\mathop\mathrm{Arg}f(re^{i\theta})ire^{i\theta}} {a_i+re^{i\theta}}d\theta$ Подскажите как его оценить, при $r \to 0$.

[Хорхе]

Вот такие соображения. Формула явно мультипликативная: если она верна для некоторых функций, то верна и для их произведения. Так что надо на что-то простое домножить, чтобы у функции не осталось нулей и полюсов внутри круга и чтобы, соответственно, ее логарифм стал аналитическим. Для функции без нулей и полюсов имеем просто (действительную часть) теоремы о среднем значении. А для простого, на которое мы домножили, докажем вручную.

[ewert]

Кстати, а как доказать, что $I(r)=\int\limits_{0}^{2\pi}\ln|e^{i\theta}+r|\,d\theta\equiv0$? Мне как-то не приходит в голову ничего проще, чем $I(0)=0$ и затем

$$I'(r)=\mathop\mathrm{Re}\left(\int\limits_{0}^{2\pi}\ln(e^{i\theta}+r)\,d\theta\right)'_r=\mathop\mathrm{Re}\int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{e^{i\theta}+r}\,d\theta=\mathop\mathrm{Im}\oint\limits_{|z|=1}\dfrac{1}{z+r}\cdot\dfrac{dx}{z}\equiv0.$$

[sup]

Пусть $|z|=1, |r|<1$. Тогда $|z+r|=|\bar z+ \bar r|= |1/z+ \bar r|= |1+ z\bar r|$. Заметим, что $g(z)=1+ z\bar r$ не обращается в 0 в единичном круге, а значит
$\int\limits_{|z|=1}\ln g(z)/zdz = 2\pi i \ln g(0) =0$
После замены $z=e^{i \theta}$ получим требуемое равенство.