Functional equation

[myra_panama]

Найти рациональную функцию f(x) такую , что
$f(x)=f(1-x)=f(\frac1{x})$
x - не равен нулю.

[ИСН]

Берём любую функцию от x, прибавляем её же, но уже от 1-x, а потом ещё - такую же конструкцию от 1/x.

[MrDindows]

ИСН в сообщении #431219 писал(а):

Берём любую функцию от x, прибавляем её же, но уже от 1-x, а потом ещё - такую же конструкцию от 1/x.

Какбы
$x+(1-x)+\frac1x \neq \frac1x+(1-\frac1x)+x$

[ИСН]

Под "такую же конструкцию" понималась не изначальная функция, а конструкция, собранная на её основе в первой части фразы.

[Null]

$f(x)+f(\frac{1}{x})+f(1-x)+f(\frac{1}{1-\frac{1}{x}})$ - неподходит.

[ИСН]

Так. Эти которые эти две там не коммутируют, поэтому надо ещё немножко дополнить.
$f(x)+f({1\over x})+f(1-x)+f(1-{1\over x})+f({1\over1-x})+f({-x\over1-x})$

[venco]

Берём любую функцию на отрезке $[0;\frac 1 2]$ и достраиваем соответствующими преобразованиями аргумента на отрезки $(-\infty;-1]$, $[-1;0]$, $[\frac 1 2;1]$, $[1;2]$, $[2;\infty)$.

[ИСН]

После чего она, возможно, перестаёт быть рациональной, если вначале и была. Нет; вот у меня теперь вроде правильно.

-- Пн, 2011-04-04, 22:43 --

Такое чувство, что где-то рядом вынырнула акула с надписью "Модулярные функции" на боку, и щёлкнула челюстями. Но мы проскочили.

[venco]

ИСН в сообщении #431273 писал(а):

После чего она, возможно, перестаёт быть рациональной, если вначале и была.

Упс. Не знал, что такое рациональная функция.

-- Пн апр 04, 2011 13:45:00 --

А если вместо суммы взять произведение, не получится ли другой класс функций?

-- Пн апр 04, 2011 13:48:46 --

Или вообще любую симметричную рациональную функцию шести аргументов, например $\frac{x+y+z+r+s+t}{xyzrst}$.

[svv]

Эти шесть функций, что перечислил ИСН,
$f_0(x)=x$, $f_1(x)=1-x$, $f_2(x)=\frac{x-1}{x}$, $f_3(x)=\frac{x}{x-1}$, $f_4(x)=\frac{1}{1-x}$, $f_5(x)=\frac{1}{x}$,
образуют группу относительно операции композиции. Композицию $f \circ g$ буду обозначать $fg$, т.е. $(fg)(x)=f(g(x))$.

Введу еще дополнительные обозначения $e(x)=x=f_0(x)$, $a(x)=1-x=f_1(x)$, $b(x)=1/x=f_5(x)$. Элементы группы $a$ и $b$ удобно выбрать в качестве образующих. Ясно, что $e$ -- единица. Справедливы правила группового умножения:
$aa=e$, т.е. $1-(1-x)=x$
$bb=e$, т.е. $1/(1/x)=x$
$aba=bab$, т.е. $1-1/(1-x)=1/(1-1/x)$

Все шесть элементов группы (она изоморфна $S_3$) получаются, начиная с $e$, умножением справа попеременно на $a$ и $b$:
$f_0=e$
$f_1=a$
$f_2=ab$
$f_3=aba=bab$
$f_4=abab=ba$
$f_5=ababa=b$
и, чтобы замкнуть круг, $f_0=ababab=e$

Пусть $p=f_0+f_2+f_4$, $q=f_1+f_3+f_5$. Тогда
$pa=ea+aba+ababa=q$
$pb=eb+abb+ababb=q$
$qa=paa=p$
$qb=pbb=p$

Пусть $s(x)=p(x)\cdot q(x)$ (точка -- обычное умножение). Тогда
$sa=pa \cdot qa= q\cdot p=s$
$sb=pb \cdot qb= q\cdot p=s$

Остается записать $s(x)$ в явном виде:
$s(x)=(f_0(x)+f_2(x)+f_4(x))\cdot (f_1(x)+f_3(x)+f_5(x)) =$
$=(x+\frac{x-1}{x}+\frac{1}{1-x})\cdot (1-x+\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x})$