задача Эйлера

[Oleg Zubelevich]

Какие необходимые и достаточные условия нужно наложить на массы $m,M$ для того чтобы система находилась в равновесии?

[ewert]

$\ln^2\dfrac{M}{m}\leqslant\pi^2f^2$

[Oleg Zubelevich]

Да. Говорят, что это задача из некоего теор. минимума В.И. Арнольда.

[ewert]

Кстати, скользкое это слово -- "равновесие" (несмотря даже на наличие трения). По-моему, оно всё-таки подразумевает состояние покоя.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #431023 писал(а):

Говорят, что это задача из некоего теор. минимума В.И. Арнольда.

Правильно так: "задача из теор. минимума некоего В.И. Арнольда" :-)

[dovlato]

Нить могла быть перекинута также и через шкив любого профиля. Результат зависит только от угла поворота нити.
Если она ещё $k$ раз обёрнута вокруг него, то в этой фомуле будет стоять$\pi (2k+1)$.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #431077 писал(а):

Кстати, скользкое это слово -- "равновесие" (несмотря даже на наличие трения). По-моему, оно всё-таки подразумевает состояние покоя.

по-моему тоже, и что?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #431225 писал(а):

по-моему тоже, и что?

То, что тогда не выходит "необходимого и достаточного" условия. Строгое неравенство является условием достаточным, но не необходимым. Нестрогое -- необходимым, но не достаточным.

[Oleg Zubelevich]

Вы, видимо, хотели сказать, что в условиях $m/M=e^{\pm \pi f}$ грузы могут ехать с постоянными скоростями. Ну да, могут.

[Eiktyrnir]

ewert в сообщении #431019 писал(а):

$\ln^2\dfrac{M}{m}\leqslant\pi^2f^2$

Меня всегда поражала Ваша прозорливость. Интересно откуда это следует? Можно слегка приоткрыть завесу?

[ewert]

Eiktyrnir в сообщении #431647 писал(а):

Меня всегда поражала Ваша прозорливость. Интересно откуда это следует?

Из соотв. дифура. И почему надо наезжать именно на меня?... Вот в данном конкретном случае -- гораздо разумнее было бы наехать на Oleg Zubelevich. Он ведь это и предложил, и подтвердил. Не говоря уж о том, что это ваще бойан -- даже и тут, на этом форуме.

(из зловредности могу ещё порекомендовать погуглить на слово "кнехты". Там, правда, математической теории Вы вряд ли найдёте, но зато - обнаружите сугубо практическое применение этой теории)

[Иван_85]

Интересно, а как будет зависеть сила натяжения нити $T(\alpha)$ в зависимости от угла $\alpha$, если угол отсчитывать от вертикали? $\alpha \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;
При таком выборе угла $\alpha$:
$T(-\frac{\pi}{2})=mg$, $T(\frac{\pi}{2})=Mg$,
$\frac{dT}{d\alpha}|_{-\frac{\pi}{2}}=\frac{dT}{d\alpha}|_{\frac{\pi}{2}}=0$;
Есть идей что это за функция?

[Munin]

Функция экспонента, а граничные условия вы для неё записали неправильно. Производная терпит разрыв в точке касания нити с блоком, от нуля до ненулевого значения.

dovlato в сообщении #431205 писал(а):

Нить могла быть перекинута также и через шкив любого профиля. Результат зависит только от угла поворота нити.

Кстати, интересно, что это верно для невыпуклых профилей, в смысле, что нить натянута над вогнутыми участками. А если нить плотно прилегает к ним? Кажется, в таком случае оно может стать неверным...

[Иван_85]

$T(-\frac{\pi}{2})=mg$, $T(\frac{\pi}{2})=Mg$,
$\frac{dT}{d\alpha}|_{-\frac{\pi}{2}+0}=\frac{dT}{d\alpha}|_{\frac{\pi}{2}-0}=0$;
Так?

[Munin]

Скорее, $\frac{dT}{d\alpha}\bigr|_{-\pi/2-0}=0,$ но $\frac{dT}{d\alpha}\bigr|_{-\pi/2+0}\ne 0.$