Цилиндр

[dovlato]

Найти давление, создаваемое электростатическими силами равномерно заряженного цилиндра бесконечной длины и с радиусом $R$. Поверхностная плотность $\sigma$.

[bundos]

Посчитайте работу силы давления при увеличении радиуса цилиндра на$dr$, далее по $\delta A=\delta W$

[ewert]

Скользко это всё. Стандартная формула $W=\dfrac{q\varphi}{2}$ имеет смысл тогда, когда есть некая естественная нормировка потенциала. И основана она на том, что можно эти заряды потихонечку растащить на бесконечность. А как их тут растащишь, если потенциал на бесконечности логарифмически уходит опять же на бесконечность?...

В принципе-то ответ понятен. Напряжённость на внешней поверхности цилиндра есть $E=4\pi\sigma$; сила давления на участок поверхности площади $dS$ есть $E\,dq=E\cdot\sigma\,dS=P\,dS$, откуда $P=E\cdot\sigma=4\pi\sigma^2$. Т.е. так было бы, если бы напряжённость была постоянна по всей толщине слоя зарядов. Но поскольку фактически она возрастает по толщине от нуля до максимума, этот результат следует уполовинить, и окончательно $P=2\pi\sigma^2$.

Только я не понимаю, как это уполовинивание можно обосновать простыми средствами. Т.е. обосновать-то не так трудно, но приходится покувыркаться.

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #435500 писал(а):

как это уполовинивание можно обосновать простыми средствами

Может быть через задачу Римана?
(шутю, шутю...)

[dovlato]

ewert в сообщении #435500 писал(а):

Только я не понимаю, как

Грешен - в отличие от обыкновения, здесь я сам считать и не пытался. А ваш вопрос приходил в голову и мне, не раз и в разных ситуациях.
В общем, мне больше всего нравится подход, исходящий из той чисто физической идеи, вся энергия всегда заключена в поле.
Из энергетического соотношения

$$pdV=\varepsilon dV -> p=\varepsilon=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}$$

$\varepsilon - $плотность энергии. То-есть, вроде бы получаем, что давление численно совпадает с плотностью энергии.
Напряжённость $E$ получаем непосредственно из теоремы Гаусса: $2\pi rLE=2\pi rL\sigma/\varepsilon0$, откуда $E=\sigma/\varepsilon_0$ (у меня система СИ)
Откуда само собой получается как раз делённое на два:

$$p=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$$

А от радиуса и не зависит.. Кстати, отсюда как раз следует, что это давление пропорционально $\rho^2/ r^2\rightarrow \infty$
То есть лишний раз получаем подтверждение, что при заданой линейной плотности заряда бесконечно тонкая нить мгновенно взорвалась бы.

[ewert]

dovlato в сообщении #435629 писал(а):

В общем, мне больше всего нравится подход, исходящий из той чисто физической идеи, вся энергия всегда заключена в поле.

Вот это-то мне и не нравится -- говорить о плотности энергии в условиях, когда полная энергия бесконечна (в отличие от сферы, скажем), а естественной точки привязки нет. Хотя, впрочем, раз ответ правильный -- значит, что-то в этом есть; знать бы только, что...

Под кувырканиями я имел в виду вот что. Предположим пока, что заряды размазаны по цилиндрическому слою с внутренним радиусом $R$ и внешним $R+h$ малой толщины $h$ и что объёмная плотность зависит от расстояния до оси как $\rho(r)$. Тогда для бесконечно тонкого цилиндрического слоя толщины $dr$ (выделенного внутри слоя, в котором распределены заряды) перепад давлений изнутри и снаружи определяется равенством

$S\cdot dP(r)=E(r)\cdot dq=E(r)\cdot\rho(r)\,dr\cdot S=4\pi\cdot\int\limits_R^r\rho(x)\,dx\cdot\rho(r)\,dr\cdot S\quad\Rightarrow$

$\Rightarrow\quad P=\int\limits_{r=R}^{R+h}dP(r)=4\pi\int\limits_{R}^{R+h}\rho(r)\,dr\int\limits_R^r\rho(x)\,dx=\left[\begin{matrix}f(r)\equiv\int_R^r\rho(x)\,dx;\\{}\\f(R)=0,\ f(R+h)=\sigma\end{matrix}\right]=$

$=4\pi\int\limits_{R}^{R+h}f'(r)\cdot f(r)\,dr=2\pi \big(f^2(R+h)-f^2(R)\big)=2\pi\sigma^2.$

Ну а раз уж это верно для заряженного слоя малой толщины, причём независимо от распределения зарядов по толщине -- то, значит, и для бесконечно тонкого.

[ewert]

dovlato в сообщении #435629 писал(а):

То есть лишний раз получаем подтверждение, что при заданой линейной плотности заряда бесконечно тонкая нить мгновенно взорвалась бы.

Э-э, не так быстро. Двумерное кольцо, т.е. трехмерный цилиндр -- к трёхмерному кольцу отношения не имеет. Там совсем разные равпределения поля.

[dovlato]

По мере неограниченного уменьшения радиуса цилиндра (т.е. постепенного превращения его в одномерную нить) концентрация радиальных электростатических сил в нём также неограниченно возрастает. Причём - вне зависимости от фигуры, образуемой нитью, если характерные макроразмеры этой фигуры во много-много раз превышают толщину нити. Я толкую о том, что взрывные силы заряженной нити локальны; любой как угодно малый участок нити стремится взорваться изнутри. Принципиально от неё отличаются двумерные образования - поверхности; там все локальные силы заведомо конечны. Бесконечный рост сил растяжения таких тел может возникнуть только при условии бесконечного роста макроразмеров. Мне это видится так.

[Александр Т.]

ewert в сообщении #435500 писал(а):

В принципе-то ответ понятен. Напряжённость на внешней поверхности цилиндра есть $E=4\pi\sigma$; сила давления на участок поверхности площади $dS$ есть $E\,dq=E\cdot\sigma\,dS=P\,dS$, откуда $P=E\cdot\sigma=4\pi\sigma^2$. Т.е. так было бы, если бы напряжённость была постоянна по всей толщине слоя зарядов. Но поскольку фактически она возрастает по толщине от нуля до максимума, этот результат следует уполовинить, и окончательно $P=2\pi\sigma^2$.

Только я не понимаю, как это уполовинивание можно обосновать простыми средствами. Т.е. обосновать-то не так трудно, но приходится покувыркаться.

По-человечески эту задачу нужно решать, используя условие непрерывности на границе цилиндра двойной свертки тензора напряжений вещества и поля с вектором нормали к границе. Если в качестве этого тензора взять тензор для диэлектрических жидкостей, выведенный в ЛЛ8 (стр. 94 формула (15,9)), то получается, что избыточное давление снаружи цилиндра равно

$$ \dfrac{2\pi\sigma^2}{\varepsilon} \left[ 1 + \dfrac{\rho}{\varepsilon} \left(\dfrac{\partial\varepsilon}{\partial\rho}\right)_T \right] $$

(формула записана для гауссовой системы единиц, используются те же обозначения, что и в ЛЛ8). Если $\varepsilon=1$, т.е. если вне цилиндра — неполяризующаяся жидкость, то избыточное давление снаружи цилиндра действительно получается равным $2\pi\sigma^2$.

А вообще-то (как Вы в таких случаях говорите) задача поставлена некорректно.

[ewert]

Александр Т. в сообщении #435687 писал(а):

задача поставлена некорректно.

нет, ну почему же, в том, что касается сил (и как следствие давлений) -- вполне корректно

[Александр Т.]

ewert в сообщении #435702 писал(а):

Александр Т. в сообщении #435687 писал(а):

задача поставлена некорректно.

нет, ну почему же, в том, что касается сил (и как следствие давлений) -- вполне корректно

Ну, во-первых, прямо не сказано, что вне и внутри цилиндра жидкости (или газы). (Хотя то, что речь идет о давлениях, а не о напряжениях, можно считатать некоторым намеком на это). Во-вторых, не задана $\varepsilon(\rho,T)$ для этих жидкостей (а ответ определяется в общем случае этой функцией). Ну и наконец, не сказано о каком давлении идет речь, а ведь его (как равновесно-термодинамическую величину) в случае присутствия электрического поля можно определить неоднозначно.

[ewert]

Александр Т. в сообщении #435703 писал(а):

не задана $\varepsilon(\rho,T)$ для этих жидкостей

Ага, и ещё не сказано, при какой конфигурации пятен на солнце всё это считается.

При чём тут вообще эпсилон, когда задача стационарна. И при чём тут жидкости, когда речь просто о внешнем давлении не важно какой природы, удерживающем заряды от разлёта.

[dovlato]

ewert в сообщении #435755 писал(а):

и ещё не сказано, при какой конфигурации пятен на солнце

Да, конечно). Обычный, давно всеми принятый "оккамовский" стиль: если чего-то нет в условии - то, значит, предполагается, что это "что-то" либо отсутствует, либо имеет стандартную величину. Ну, либо автор ваще элементарно непрофессионален. Кстати, отчасти поэтому мне не очень нравятся многие ЕГЭшные задачи по физике.. как-то иногда кажется - не тем людям это дело отдано. "Меня крадёт другая" - сказал поэт.

[Александр Т.]

ewert в сообщении #435755 писал(а):

Александр Т. в сообщении #435703 писал(а):

не задана $\varepsilon(\rho,T)$ для этих жидкостей

...
При чём тут вообще эпсилон, когда задача стационарна.

А... Вот ведь в чем оказывается дело-то. А я-то думал, что диэлектрическую проницаемость и для стационарных задач в некоторых случаях приходится учитывать.

[ewert]

Александр Т. в сообщении #435877 писал(а):

А я-то думал, что диэлектрическую проницаемость и для стационарных задач в некоторых случаях приходится учитывать.

Не нужно. Вне заряженного слоя она по условию задачи равна единице, а внутри не имеет значения -- её наличие привело бы лишь к какому-то перераспределению зарядов внутри слоя, что на окончательном результате всё равно никак не скажется. Поскольку нас интересует лишь внешняя нагрузка, и вовсе не интересуют радиальные внутренние напряжения.