квадратичные формы

[Evgeni2011]

Будем говорить что форма $ (a,b,c) $ переводится в форму $ (A,B,C) $ подстановкой $\left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right)$ если $ AX^2+BXY+CY^2=a(\alpha X+\beta Y)^2+b(\alpha X+\beta Y)(\gamma X+\delta Y)+c(\gamma X+\delta Y)^2 $ для любых целых $ X,Y $.

Обозначим $ E(a,b,c)\subset\mathbb{Z} $ множество значений отображения $ \mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}: (x,y) \mapsto ax^2+bxy+cy^2 $.

Помогите пожалуйста доказать, что, если $ E(A,B,C)\subset E(a,b,c) $ то $ (a,b,c) $ переводится в $ (A,B,C) $ некоторой подстановкой.

[Sonic86]

Может быть можно рассмотреть $k^2A,... \in E(A,B,C)$ и поскольку $E(A,B,C) \subset E(a,b,c)$, то эти числа представляются формой $ax_k^2+bx_ky_k+cy_k^2$ и отсюда попытаться найти зависимость между $x_k,y_k$ и оттуда что-то вывести...

А вообще лучше почитать книжку Дирихле Лекции по теории чисел. Можно и Бухштаба посмотреть наверное...

[neo66]

А откуда эта задача? Для учебной она, похоже, далеко не тривиальна.

[Leox]

Evgeni2011 в сообщении #430378 писал(а):

Будем говорить что форма $ (a,b,c) $ переводится в форму $ (A,B,C) $ подстановкой $\left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right)$ если $ AX^2+BXY+CY^2=a(\alpha X+\beta Y)^2+b(\alpha X+\beta Y)(\gamma X+\delta Y)+c(\gamma X+\delta Y)^2 $ для любых целых $ X,Y $.

Странная постановка вопроса. Какие ограничения на матрицу преобразования? Если она невырождена то есть стандартные методы определения того что две формы лежат на одной орбите сравнивая их инварианты. Если матрица вырождена,то наверное да, нужно так изощрятся.
Откуда задача?

[neo66]

Leox в сообщении #431964 писал(а):

Если она невырождена то есть стандартные методы определения того что две формы лежат на одной орбите сравнивая их инварианты.

Ну, так, верно заявленное утверждение или нет?