Свежее неравенство

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательны и такие, что $ab+ac+bc\neq0$. Докажите, что:

$$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(a+c)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq\frac{(a+b+c)^3}{4(ab+ac+bc)^2}$$

[Sergic Primazon]

by Jensen we have : $LHS \ge (a+b+c)\frac{(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)^2}$

[arqady]

Или Гёльдер:

$$\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}\left(\sum_{cyc}a(b+c)\right)^2\geq(a+b+c)^3$$

Усилим его немного.
Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательны и такие, что $ab+ac+bc\neq0$. Докажите, что:
1)

$$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(a+c)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq\frac{(a+b+c)^3}{4(ab+ac+bc)^2}+\frac{3abc(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}{(a^2+b^2+c^2)^3}$$

2)

$$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(a+c)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq\frac{(a+b+c)^3}{4(ab+ac+bc)^2}+\frac{5abc(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}{4(ab+ac+bc)^3}$$