Неравенство Бернулли

[Demurg2000]

Какой самый нестандартный способ докозательства этого неравенства?

[RIP]

Никогда не встречал док-ва не по индукции, но вот напрягся и придумал извращенный способ для отрицательных переменных.
Во-первых,

$$\ln(1+x)=\int\limits_0^x \frac{du}{1+u}= -\int\limits_0^{-x}\frac{du}{1-u}\text{ при $x>-1$.}$$

Далее, при $0\leqslant a \leqslant a+b<1$ имеем

$$\int\limits_0^a\frac{du}{1-u}\leqslant\int\limits_0^a\frac{du}{1-b-u}=\int\limits_b^{b+a}\frac{du}{1-u}.$$

Это дает при $x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n>-1$

$$\ln(1+x_1)\ldots(1+x_n)= -\sum_{k=1}^n \int\limits_0^{-x_k}\frac{du}{1-u}\geqslant -\sum_{k=1}^n \int\limits_{ -x_1-\ldots-x_{k-1} }^{-x_1-\ldots-x_{k-1}-x_k}\frac{du}{1-u}= -\int\limits_0^{-x_1-\ldots-x_n}\frac{du}{1-u}=\ln(1+x_1+\ldots+x_n),$$

т.е. $(1+x_1)\ldots(1+x_n)\geqslant1+x_1+\ldots+x_n$. При $-1\leqslant x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n\leqslant-1$ это очевидно.
P.S. Интересно, а зачем это Вам?

[Demurg2000]

Я тоже не встречал доказательств не по индукции,хотел узнать может какой нибудь еще интересный способ имеется,спасибо за решение!Попробую разобраться

[RIP]

Строго говоря, мое док-во тоже по индукции, но индукция "скрытая", просто при моем способе док-ва удается осуществить шаги индукции независимо друг от друга и объединить их в один шаг.
Кстати, уверен, что у этого нер-ва найдутся еще док-ва, да и мое не ново, просто надо "поискать".

[Три А,да]

RIP
Прошу поместить это доказательство в дискуссионые темы в "из пушки по воробьям",которая специально создана для таких вещей.
Не сложно это туда переписать,но ведь вы автор,а народ должен знать своих героев.

[Brukvalub]

Кстати, с методической точки зрения, Ваше доказательство может привести к порочному логическому кругу в том случае, если при доказательстве второго замечательного предела неравенство Бернулли уже использовалось (что нередко делают в курсах математического анализа). Конечно, есть и альтернативные подходы, и тогда с точки зрения логической последовательности изложения все будет корректно.

[SergeiMS]

В книге знаменитой книге D.S. Mitrinovic, J.E.Pecaric,A.M.Fink-Classical and new inequalities in analysis
есть целая глава 3 про неравенство Бернулли. Извращений там достаточно, поверьте.

[EsenZhar]

1ый способ Можно доказать по индукции для nпринадл. Т
2ой спосою По биному Ньютона возвести (1+x)^n, а затеи отбростиь все положительный слагаемые

[bot]

EsenZhar писал(а):

1ый способ Можно доказать по индукции для nпринадл. Т
2ой спосою По биному Ньютона возвести (1+x)^n, а затеи отбростиь все положительный слагаемые

Если $x \in (-1,0)$, то при втором способе возникают проблемы.