Квадратный трёхчлен и косинусы углов 72 и 144 градуса

[Xenia1996]

На маткружке была такая задачка: найти хотя бы один квадратный трёхчлен, корнями которого являются $\cos 72^\circ$ и $\cos 144^\circ$

Поскольку я помню наизусть значения тригонометрических функций некоторых "замечательных" углов (а $72^\circ=\frac{2}{5}\pi$ и $144^\circ=\frac{4}{5}\pi$), мне не составило труда найти такой трёхчлен: $2x^2+x-\frac{1}{2}$

Но руководитель кружка сказал, что основная изюминка в этой задаче - это как раз нахождение тех самых двух косинусов.

Мой вопрос в следующем: можно ли найти эти два косинуса, не используя значения других трифунов для других углов (например, $\sin 30^\circ$)?

[Sonic86]

Формулой Муавра такие задачи очень хорошо решаются:

$$(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx$$

+ нужны формулы кратных углов. Рано эту формулу не дают и детям приходится сквозь дебри синусов и косинусов продираться...

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #429316 писал(а):

Формулой Муавра такие задачи очень хорошо решаются:

$$(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx$$

+ нужны формулы кратных углов. Рано эту формулу не дают и детям приходится сквозь дебри синусов и косинусов продираться...

Формулы де-Муавра я как раз знаю, но подозреваю, что автор задачи имел в виду не их, и не формулу половинного аргумента.

[мат-ламер]

Можно найти координаты вершин правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность на комплексной плоскости, решая уравнение $z^5-1=0$ (в комплексной области).

[Sonic86]

Xenia1996 писал(а):

Формулы де-Муавра я как раз знаю, но подозреваю, что автор задачи имел в виду не их, и не формулу половинного аргумента.

Ну это просто надо знать самому, а не чтоб как руководителю хочется.
Можете по аналогии: $\sin x = \sin 4x$, синус расписать через кратные аргументы, что-то сократить и вуаля!

[Xenia1996]

А через подобные треугольники не прокатит?

[Sonic86]

Xenia1996 писал(а):

А через подобные треугольники не прокатит?

Это тогда получится, что Вы будете выводить неявно уже существующие тригонометрические формулы в другой одежде? Зачем лишняя одежда?

Хотя может и вру - надо бы посмотреть как это делается через подобие.

[Someone]

1) Пусть $\cos 72^{\circ}=x$.
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$, получим
$\cos 144^{\circ}=2x^2-1$.
Поскольку $\cos 144^{\circ}=-\cos 36^{\circ}$, имеем
$\cos 36^{\circ}=1-2x^2$.
По той же формуле косинуса двойного угла получаем
$\cos 72^{\circ}=2(1-2x^2)^2-1$.
Сравнивая это выражение с первоначальным, получим уравнение
$2(1-2x^2)^2-1=x$.

2) Пусть $\cos 144^{\circ}=x$.
Аналогично предыдущему, получаем
$\cos 288^{\circ}=2x^2-1=\cos 72^{\circ}$,
$\cos 144^{\circ}=2(2x^2-1)^2-1$,
откуда следует уравнение
$2(2x^2-1)^2-1=x$.

3) Очевидно, уравнения в пунктах 1) и 2) совершенно одинаковые, и после упрощений приводятся к виду
$8x^4-8x^2-x+1=0$.
Легко подобрать два рациональных корня $x_1=1=\cos 0^{\circ}$ и $x_2=-\frac 12=\cos 120^{\circ}$, которые, таким образом, нам не нужны. После деления левой части уравнения на $(x-1)(2x+1)$, получим квадратное уравнение
$4x^2+2x-1=0$,
положительный корень которого равен $\cos 72^{\circ}$, а отрицательный - $\cos 144^{\circ}$.

[spaits]

Sonic86 в сообщении #429327 писал(а):

надо бы посмотреть как это делается через подобие.

Через подобие.
В окружность радиуса $R$ вписываем $10$-угольник, выделяем равнобедренный треугольник $OAB$, основание которого - сторона десятиугольника (обозначим её через $x$), а боковые стороны - радиусы окружности, угол при вершине $36^{\circ}$, углы при основании - $72^{\circ}$. Построим равнобедренный треугольник $ABC$ так, чтобы точка С находилась на $AO$ и было $BC=AB=x$. Тогда, посчитав углы, увидим, что треугольник $BCO$ тоже равнобедренный и $CO=BC=x$. Из подобия треугольников $ABC$ и $BOA$ составляем пропорцию и получаем уравнение: $x^2+Rx-R^2=0$, положительный корень которого равен длине стороны десятиугольника: $x=\frac{R(\sqrt5-1)}2$.
Проведя в треугольнике $ABO$ высоту к основанию $AB$, вычисляем $\cos72^{\circ}=\sin 18^{\circ}=\fracx{2R}=\frac{\sqrt5-1}4$.
Далее, $\cos 144^{\circ}=2 \cos^2{72^{\circ}}-1=-\frac{\sqrt5+1}4$.
По теореме Виетта находим, что корни $\cos 72^{\circ}$ и $cos144^{\circ}$ имеет квадратное уравнение с рациональными коэффициентами $4t^2+2t-1=0$.

[svv]

У углов $\varphi=\frac 2 5 \pi$ и $\varphi=\frac 4 5 \pi$ есть общее свойство: $\cos 2\varphi = \cos 3\varphi$. Выражаем обе части через $x=\cos \varphi$:
$2x^2-1=4x^3-3x$, или
$4x^3-2x^2-3x+1=0$.
Делим на $x-1$, чтобы исключить лишний корень, получаем
$4x^2+2x-1=0$.

[Legioner93]

Мы в школе как-то это без всяких триг.формул выводили! Сейчас вспомню и напишу.
Вот. Если обозначить $x=36^{\circ}$, то его синус или косинус можно очень просто найти из этого треугольника: