Поиск поверхностного интеграла

[Dilettante]

Приветствую вас! Необходимо найти поток векторного поля $F=(x^{2};-y^{2};z^{2})$ через поверхность $S: 0 \leqslant z \leqslant \sqrt {x^{2}+y^{2}-R^{2}} $
Решил посчитать через ф-лу Г.-О. и вычесть накрывающие окружности, вот какой интеграл получился:$2\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{R\sqrt{2}}\rho d\rho \int_{\sqrt{\rho^2-R^2}}^{R} (\rho \cos(\varphi)-\rho \sin(\varphi)+z )dz$
Разность $\sin$ и $\cos$ обнуляется как я понял при интегрировании. Вопрос такой - правильные ли указанные пределы интегрирования? Если нет, то какие правильные?

[Dilettante]

Видимо всё-таки пределы неверные, т.к. интегрируя по объёму получил $2\pi R^4$ и вычитая поток через накрывающую окружность (у меня он тоже получился равным $2\pi R^4$), получил ноль, хотя вроде должно получиться $\frac {1}{2} \pi R^4$. Вероятно в последних пределах ошибся, по $z$, но не могу дойти как правильно

[svv]

Dilettante, я тоже приветствую Вас.
Задание не очень понятное. Поверхность $z^2=\rho^2-R^2$ (где $R$ -- константа?) -- это однополостный гиперболоид. Обратите внимание, что ось $Oz$ вообще не касается поверхности. Это соответствует тому, что в уравнении $z^2=\rho^2-R^2$ при $\rho<R$ переменная $z$ не может быть вещественной. Иными словами, нет таких точек поверхности, для которых $\rho<R$. Ибо для таких невозможно вычислить $\sqrt{\rho^2-R^2}$.

[Dilettante]

2svv
Сейчас увидел, что некорректно выразился в постановке задачи. Нужной найти поток векторного поля через часть поверхности $z \leqslant \sqrt {x^{2}+y^{2}-R^{2}}$, ограниченную условием $0 \leqslant z \leqslant R.$ То есть получается верхняя часть усечённого конуса. Далее, в интеграле перешёл к циллиндрическим координатам и получил вид $z \leqslant \sqrt {\rho^2-R^{2}}$ Гиперболоида быть не должно, т.к. начали решать на практике, там же рисовали поверхность

[svv]

Давайте сначала разберемся с поверхностями без ограничений. Они задаются уравнениями (равенствами). Поэтому пока не пишите неравенств.
Вот поверхность $z^2=x^2+y^2-1$ -- это конус или гиперболоид?
Ответ здесь.

[Dilettante]

Проецируя на плоскости OXZ и OYZ, действиетльно получил очертания не конуса $x=\sqrt{z^2+1}$ и $y=\sqrt{z^2+1}$. Почему-то я был убеждён в том, что это усечённый конус, даже не проверяя себя. Всё-таки однополостный гиперболоид.

[svv]

Да, а в таком случае задание не очень понятно.
Возьмем вертикальную прямую. На ней $x$ и $y$ постоянны, поэтому её удобно характеризовать этими $x$ и $y$.
М-да, так вот. Если $x$ и $y$ не очень велики ($x^2+y^2<R^2$), то такая прямая вообще не пересекает нашу поверхность $z^2=x^2+y^2-R^2$ (так как левая часть $z^2 \geqslant 0$, а правая $x^2+y^2-R^2<0$).
Попросту говоря, однополостный гиперболоид имеет "дырку" минимальным радиусом $R$. По дырке, естественно, интегрировать не нужно, тогда по чему?