2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Можно ли решить такое диф. уравнение аналитически
Сообщение30.03.2011, 13:58 


29/12/09
366
Нужно решить такое уравнение, $y''+\frac{y'}{x}+\frac{a}{y^3}+b=0$
Есть ли метод, с помощью которого можно найти его аналитическое решение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2011, 14:35 


19/05/10

3940
Россия
Есть простенький очень действенный, правда не быстрый, метод решения ОДУ)
найти дифур в книге Камке справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям
если он там есть то у уравнения есть аналитическое решение там и указанное, иначе аналитического решения нет)

Есть еще новый справочник Зайцева и Полянина но про него ничего сказать не могу

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 12:49 


08/12/10
8
при b = 0, очевидно, можно, найдя частное решение y = cx^d
при всех b - не знаю

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 15:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Можно найти допустимую группу преобразований, посмотреть при каких значениях параметров a, b она оказывается нетривиальной. Я бы сделал, но мне сейчас некогда. Можете почитать Н.Х. Ибрагимов - Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, сами научитесь, если не умеете, полезная вещь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли решить такое диф. уравнение аналитически
Сообщение07.04.2011, 09:59 


29/12/09
366
Спасибо Padawan!!!! Книжка супер, никогда не слышал о ней. Но только не до конца все понятно)))

Я так понимаю нужно с начало найти общее решение определяющих уравнений.
Вот что я пока сделал:
$f(x,y,y')=-\frac{y'}{x}-\frac{a}{y^3}-b$
далее находим
$f_x=\frac{y'}{x^2};f_y=\frac{3a}{y^4};f_{y'}=-\frac{1}{x}$
потом все подставляем в определяющее уравнение
$\eta_{xx}+(2\eta_{xy}-\xi_{xx})y'+(\eta_{yy}-2\xi_{xy})y'^2-y'^3\xi_{yy}+(\eta_y-2\xi_x-3y'\xi_y)(-\frac{y'}{x}-\frac{a}{y^3}-b)+[\eta_x+(\eta_y-\xi_x)y'-y'^2\xi_y]\frac{1}{x}-\xi\frac{y'}{x^2}-\eta\frac{3a}{y^4}=0$
далее получаем 4 уравнения(приравнивая члены при одинаковых степенях $y'$):
$(y')^3$  :$\xi_{yy}=0$
$(y')^2$  :$\eta_{yy}-2\xi_{xy}+\frac{2}{x}\xi_y=0$
$(y')^1$ :$2\eta_{xy}-\xi_{xx}+(\frac{\xi}{x})_x+3(\frac{a}{y^3}+b)\xi_y=0$
$(y')^0$ :$\eta_{xx}-(\eta_y-2\xi_x)(\frac{a}{y^3}+b)+\frac{\eta_x}{x}-\eta\frac{3a}{y^4}=0$
Из первых двух уравнений можно получить:
$\xi=p(x)y+a(x)$
$\eta=(p'-\frac{p}{x})y^2+q(x)y+b(x)$
хотя с учебником у меня не совпадает!!!!
В учебнике функция $\eta=(p'-\frac{p}{x})y^2+2(a'-\frac{a}{x})y+q(x)y+b(x)$;

Дальше не знаю, как делать((((((

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли решить такое диф. уравнение аналитически
Сообщение07.04.2011, 11:48 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
alexey007 в сообщении #432030 писал(а):
Из первых двух уравнений можно получить:
$\xi=p(x)y+a(x)$
$\eta=(p'-\frac{p}{x})y^2+q(x)y+b(x)$

А из вторых двух? Надо всем определяющим уравнением удовлетворить. В итоге функции $\xi(x,y)$ и $\eta(x,y)$ должны зависеть не более, чем от восьми вещественных параметров.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group