1. Сначала разобраться с линейной задачей (

), но с правой частью
![$F(x,t) \in C([0,T],L_{q/p}(M))$ $F(x,t) \in C([0,T],L_{q/p}(M))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/9/ef9cc64f059a177ad45d47eaebd2609e82.png)
.
Решение, очевидно, представимо в виде

, где

- решение с начальными данными и нулевой правой частью, а

- решение с правой частью и нулевыми начальными данными. Показать, что норма

тем меньше, чем меньше

(скорее всего зависит степенным образом).
2. Организовать последовательность гладких приближений

для

, для которых разрешимость не вызывает сомнения. Например, вне некоторого компакта

(растущего с номером приближения)

ограничена.
3. Пользуясь результатами п.1, получить равномерные по

оценки и перейти к пределу. Для этого рассматриваем решение

в виде

.
Если обозначить
![$U=\|u_F\|_{C([0,T],H^{1,q}_0(M))}$ $U=\|u_F\|_{C([0,T],H^{1,q}_0(M))}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/5/215d569a25dff6f04e43f72594fa539182.png)
, то должно получиться некое соотношение вида

,
где

можно сделать сколь угодно малой, уменьшая

. И, наконец, выбрав

так, чтобы

, получим, что

(в силу непрерывности).
В сущности, это мало чем отличается от поиска неподвижной точки, когда нелинейность забрасывается в правую часть.
Если угодно, можно попробовать и такой подход.
В любом случае необходимо сначала изучить линейную задачу.