Фильтры, ультрафильтры...

[Профессор Снэйп]

Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ --- ультрафильтры на $I$, $\mathcal{H}$ --- фильтр на $I$, $\mathcal{H} \supseteq \mathcal{F} \cap \mathcal{G}$. Доказать, что либо $\mathcal{H} = \mathcal{F}$, либо $\mathcal{H} = \mathcal{G}$, либо $\mathcal{H} = \mathcal{F} \cap \mathcal{G}$.

[Padawan]

1) Предположим, что существует $A\in \mathcal H\setminus (\mathcal F\cup\mathcal G)$. Тогда $I\setminus A\in\mathcal F$ и $I\setminus A\in\mathcal G$, значит, $I\setminus A\in \mathcal F\cap\mathcal G\subset\mathcal H$. Тогда $\varnothing=A\cap(I\setminus A)\in\mathcal H$, что невозможно. Отсюда следует, что $\mathcal H\subset\mathcal F\cup\mathcal G$.
2) Предположим, что существует $A\in(\mathcal F\setminus\mathcal G)\cap\mathcal H$ и существует $B\in(\mathcal G\setminus\mathcal F )\cap\mathcal H$. Тогда $I\setminus A\in\mathcal G$ и $I\setminus B\in\mathcal F$. Тогда $A\setminus B\in \mathcal F$ и $B\setminus A\in\mathcal G$. Тогда $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\in\mathcal F\cap\mathcal G\subset H$. Но $A\cap B\in\mathcal H$. Опять получаем, что $\varnothing=\Big((A\setminus B)\cup (B\setminus A)\Big)\cap \Big(A\cap B\Big)\in \mathcal H$, что невозможно. Отсюда следует, что $\mathcal H\subset\mathcal F$ или $\mathcal H\subset\mathcal G$. Пусть первое.
3) Предположим, что существует $A\in\mathcal F\setminus\mathcal H$ и существует $B\in\mathcal H\setminus \mathcal G$. Тогда $A\not\in\mathcal G$ и $B\not\in \mathcal G$, значит, $I\setminus A\in \mathcal G$ и $I\setminus B\in \mathcal G$, значит их пересечение $I\setminus (A\cup B)\in\mathcal G$. Далее $A\cap B\in\mathcal F$. Значит $C=\Big(A\cap B\Big)\cup \Big(I\setminus (A\cup B)\Big)\in\mathcal F\cap\mathcal G\subset\mathcal H$. Тогда $A\cap B=B\cap C\in\mathcal H$. Тогда $A\in \mathcal H$, что невозможно, т.к. $A\in\mathcal F\setminus\mathcal H$. Отсюда следует, что $\mathcal H=\mathcal F$ или $\mathcal H=\mathcal F\cap\mathcal G$.