2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите, пожалуйста, понять условие задачи (сумма n кубов)
Сообщение27.03.2011, 00:12 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Доказать, что для каждого натурального n и каждого целого неотрицательного m уравнение

$x_1^3+x_2^3+\dots+x_n^3=y^{3m+2}$

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Я не поняла одну деталь в условии. Подразумевается ли, что $x_1, x_2, \dots, x_n$ обязаны быть попарно различными?
Если нет, то решение уж чересчур очевидно.

(Вот оно)

Если $x_i=n^k$, где k - натуральное, то $x_1^3+x_2^3+\dots+x_n^3=n^{3k+1}$, а поскольку среди чисел 3k+1 имеется бесконечно много делящихся на 3m+2, мы получаем бесконечно много решений.
Пример для n=17, m=2:


$(17^5)^3+(17^5)^3+\dots+(17^5)^3=17^{16}=(17^2)^8$

$(17^{13})^3+(17^{13})^3+\dots+(17^{13})^3=17^{40}=(17^5)^8$

$(17^{21})^3+(17^{21})^3+\dots+(17^{21})^3=17^{64}=(17^8)^8$

Ну и так далее.

Значит, я так понимаю, всё-таки иксы попарно различными быть должны?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2011, 09:16 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
У вас в тексте ни где различность $x_i$ не требуется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group