Семь простых чисел

[Sonkina]

Семь попарно различных простых чисел имеют вид

$p, q, s, p+q+s, p+q-s, p-q+s, -p+q+s$

Некоторые два из числел p, q, s в сумме дают 800

Найти наибольшую возможную разность между наибольшим и наименьшим из этих семи простых чисел.

Ответ обосновать!

[Null]

13,787,797,1597,3,23,1571 - подходят.

[Sonic86]

От противного легко видеть, что в списке нет четных простых чисел (2 то есть).
Пусть для определенности $p<q<s$. Либо одно из этих чисел равно 3, либо одно из 4-х чисел $p+q+s,-p+q+s,p-q+s,p+q-s$ делится на 3, а значит равно 3. В силу $p<q<s$ число $p+q-s$ наименьшее среди всех, а значит именно оно равно 3. Выражая $s=p+q-3$, получаем список $p,q,p+q-3,2p+2q-3,2p-3,2q-3$, причем $p \equiv q \pmod 3$ и тогда $3 \not |p+q-3$. Искомая разность равна $s-p=q-3$.

$p=5,7,11$ дает противоречие с $800 \in \{ p+q,2p+q-3, p+2q-3 \}$, так что $p \geq 13$. $p=13$ подходит (Null написал выше). и при этом $800=p+q$, а значит $q$ и вместе с ним искомая $q-3$ максимальна

[Null]

У меня искомая разность равна $2s$ почему-то.

[Sonic86]

Null писал(а):

У меня искомая разность равна $2s$ почему-то.

Упс! Я рассматривал только разности простых $p,q,s$, а не всех чисел из списка. Тогда недоработка...

[Sonic86]

Все просто.
$p \equiv q \pmod 3$, значит $3| 2p+q-3; 3|p+2q+3$, но $3 \not | 800$, значит $800=p+q$. Тогда список принимает вид:
$p, 800-p, 797, 1597, 2p-3, 1597, 1597-2p$. Числа $797, 1597$ простые, их отбрасываем, остается $p, 800-p, 2p-3, 1597-2p, 13 \leq p < 800$, а максимальная разность равна все равно $800-p$ и она все равно максимальна при $p=13$.