Найти предел последовательности, заданной рекуррентно

[bundos]

Пусть $F_0(x)=\ln x$. Для $n\geqslant 0$ и $x>0$, $F_{n+1}(x)=\int\limits_{0}^{x}F_n(t)dt$. Вычислить $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n!F_n(1)}{\ln n}$

[Полосин]

Найдите $F_n(x)$ в явном виде, затем воспользуйтесь разложением логарифма в ряд и известным соотношением $1+\dfrac12+\dfrac13+...+\dfrac1n=\ln n+\gamma+o(1)$.

[SpBTimes]

Да, в явном виде просто записывается

[bundos]

SpBTimes в сообщении #427500 писал(а):

Да, в явном виде просто записывается

А не могли бы вы подсказать как?

[Sonic86]

Интеграл находится по частям с помощью рекуррентного соотношения.
Может у Вас что-то конкретно не получается?

[bundos]

Sonic86 в сообщении #427574 писал(а):

Интеграл находится по частям с помощью рекуррентного соотношения

Вы имеете ввиду типа этого: $F_{n+1}(x)=F_n(x)\cdot x- F_{n-1}(x)\cdot x+\int\limits_{0}^{x}F_{n-2}(t)dt$?

[Sonic86]

Чего-то как-то сложно.
Интеграл-то в общем виде имеет вид $a_nx^n \ln x + b_n x^n$. Надо проинтегрировать ну и понятно... Должны быть линейные зависимости вроде...