Последовательность, заданная рекуррентно (сумма)

[myra_panama]

Последовательность $a_n$ , задана рекуррентно :
$a_0=1$ , $a_n=\frac{a_{n-1}}2-\frac{a_{n-2}}3+\cdots +\frac{(-1)^n a_0}{n+1}$
($n\ge1$). Вычислить сумму :$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ для ($|x|<1$).

(Оффтоп)

c чего , начинать..... ща думаю... и вы помогите..

[sup]

Применяя формулу Коши для коэффициентов степенного ряда, легко получаем, для любого $n \geqslant 1$

$$\int \limits_C \frac {f(z) \ln (1+z)}{z^{n+2}}dz =0,$$

где $C$ - окружность с центром в 0.
Отсюда следует, что $f(z)= \frac {z}{\ln (1+z)}$

[myra_panama]

(Оффтоп)

а, можно ли без ТФКП?

[sup]

Да, в общем, точно так же. Имеем
$\ln (1+x)\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n = x\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac {(-1)^{k}x^k}{k+1} \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=x\sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n\sum \limits_{k=0}^{n}a_{n-k}\frac {(-1)^{k}}{k+1}=x$