2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос по теории полей
Сообщение23.03.2011, 19:36 
Кто знает помогите пожалуйста с таким вопросом. Пусть F некоторое алгебраически замкнутое поле характеристики p. Почему любое поле из p в степени f элементов можно вложить в F?

 
 
 
 
Сообщение23.03.2011, 19:39 
Аватара пользователя
Evgeni2011 в сообщении #426718 писал(а):
Кто знает помогите пожалуйста с таким вопросом. Пусть F некоторое алгебраически замкнутое поле характеристики p. Почему любое поле из p в степени f элементов можно вложить в F?
Потому что $F$ содержит простое подполе $\mathbb{F}_p$ из $p$ элементов, а поле из $p^f$ элементов является алгебраическим расширением $\mathbb{F}_p$.

 
 
 
 Re: Вопрос по теории полей
Сообщение23.03.2011, 21:30 
Я согласен с тем, что Вы пишете, но не могу понять, как из этого следует то, что написал я.

 
 
 
 
Сообщение23.03.2011, 21:53 
Аватара пользователя
Нет, я не использую этот факт. Если бы поле $\mathbb{F}_{p^f}$ было бы трансцендентным над $\mathbb{F}_p$, то имело бы бесконечное число элементов (для трансцендентного элемента $x$ его степени $1,x,x^2,\dots$ различны и линейно независимы).

А Ваше утверждение следует из этого, потому что если $k$ - подполе алгебраически замкнутого поля $F$, а $K$ - конечномерное алгебраическое расширение $k$, то оно м.б. вложено в $F$. Это доказывается индукцией по количеству присоединенных элементов: в поле $F$ всегда найдется элемент, минимальный многочлен которого такой, какой нам нужен.
На самом деле любое алгебраическое расширение можно вложить, но там уже надо отдельно рассмотреть случай счетной цепочки.

 
 
 
 Re:
Сообщение23.03.2011, 22:00 
Xaositect в сообщении #426817 писал(а):
Нет, я не использую этот факт. Если бы поле $\mathbb{F}_{p^f}$ было бы трансцендентным над $\mathbb{F}_p$, то имело бы бесконечное число элементов (для трансцендентного элемента $x$ его степени $1,x,x^2,\dots$ различны и линейно независимы).

А Ваше утверждение следует из этого, потому что если $k$ - подполе алгебраически замкнутого поля $F$, а $K$ - конечномерное алгебраическое расширение $k$, то оно м.б. вложено в $F$. Это доказывается индукцией по количеству присоединенных элементов: в поле $F$ всегда найдется элемент, минимальный многочлен которого такой, какой нам нужен.
На самом деле любое алгебраическое расширение можно вложить, но там уже надо отдельно рассмотреть случай счетной цепочки.

Большое спасибо

 
 
 
 
Сообщение23.03.2011, 22:01 
Аватара пользователя
А я, похоже, поспешил, там не все так просто с доказательством через минимальный многочлен. Легче сказать, что если бы не вкладывалось, то можно было бы построить алгебраическое расширение $F$, добавив невкладываемый элемент.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group