разложение косинуса в ряд фурье по косинусам...

[spyphy]

Видимо, я что-то не правильно делаю...
Пусть есть функция $f(x)=cos^3( \frac{\pi}{2} x)$
Надо разложить ее в ряд по $ cos( \frac{\pi}{2} x) $ на отрезке [0,2]:
$f(x)=a_0/2+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k cos(k \frac{\pi}{2} x)$.
Тогда коэффициенты
$a_k= \int\limits_0^2 cos^3( \frac{\pi}{2} x) cos(k \frac{\pi}{2} x) dx =0 $ (!), k=0,1,2,...

[ИСН]

Ну? Радоваться надо: из бесконечного множества коэффициентов почти все определены верно.

-- Вт, 2011-03-22, 20:55 --

Как это получилось-то, кстати?

[spyphy]

ИСН в сообщении #426285 писал(а):

Как это получилось-то, кстати?

да что б я знал... Вот, загоняем в Математику (хотя и в ручную тоже считал):

Integrate[Cos[x*Pi/2]^3*Cos[k*x*Pi/2], {x, 0, 2}]

Получаем что-то, умноженное на $ sin[k\pi] $. И если мне не изменяет память, то для всех целых k: $ sin[k\pi]=0 $

[Евгений Машеров]

Подставляем в Ваше выражение k=1, получаем косинус в четвёртой, интегрируем... И как интеграл неотрицательной функции, не равной тождественно нулю, оказался нулевым?

(Оффтоп)

- Господа гусары, как же я оказался вообще без взяток при восьми козырях?
- Расклад, батюшка, расклад!

Так, напомнить...
http://www.pm298.ru/trigon6.php

[ewert]

Надо сказать, довольно-таки странная задача. Чтобы сосчитать эти интегралы, требуется понизить степень, т.е. воспользоваться формулой для тройного угла: $\cos3t=4\cos^3t-3\cos t$. Другими словами, для этого надо найти разложение куба косинуса по косинусам кратных углов. А потом, когда такое разложение будет найдено -- можно это разложение наконец и найти!

[spyphy]

Евгений Машеров в сообщении #426292 писал(а):

И как интеграл неотрицательной функции, не равной тождественно нулю, оказался нулевым?

Понятия не имею )
Да я понимаю, что всё это довольно странно, но что здесь поделаешь? По крайней мере, стало понятно, что дело в интегралах, а не в рядах.
По 3-ю степень можно забыть. Для простоты можно взять функцию $f(x)=cos x $ на [0,pi] и ряд
$f(x)=a_0/2+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k cos (kx)$
с коэффициентами
$a_k= \int\limits_0^{\pi} cosx \cdot cos(k x) dx =0 $, k=0,1,2,...,
Математика дает: $a_k = -k \cdot sin(k \pi)/(k^2-1)$
и ручные выкладки это подтверждают...

-- Вт мар 22, 2011 22:30:10 --

Кстати, при k=1 здесь получается неопределенность...

-- Вт мар 22, 2011 22:32:00 --

Так я чего-то не понял. Тригонометрические функции что ли вообще нельзя в ряды Фурье раскладывать?...

[ИСН]

[spyphy]

это что какой-то узкопрофильный юмор?

[Joker_vD]

$a_k= \int\limits_0^{\pi} \cos x \cos kx dx$, $k \in \mathbb N_0$.

Чему равно $a_1$? $a_1 = \int\limits_0^{\pi} \cos x \cos x dx = \int\limits_0^{\pi} \cos^2 x dx = ?$

[spyphy]

Ладно, кажется понял, где возникает ошибка... При вычислении этой штуки
$a_k= \int\limits_0^{\pi} \cos x \cos kx dx$, $k \in \mathbb N_0$
я умножал на $ 1/(k-1) $. Значит здесь происходит разветвление вычислений по двум путям: что с k=1 и что с $k \neq 1$.

[Евгений Машеров]

Давайте начнём с более простой задачи. Разложим в ряд Фурье просто косинус, безо всяких кубов. Сколько там будет ненулевых коэффициентов?
Подсказка: если Вы выпишите выражение для коэффициентов и начнёте его интегрировать, это хорошо охарактеризует Ваше прилежание и плохо - понимание.
А вторым темпом выразим куб косинуса через косинусы.

[spyphy]

Всё нормуль, я уже понял, в чем там был подвох.

[ИСН]

Да? Можете быстро разложить $\sin3x$ в ряд по синусам?

[spyphy]

разложить вряд ли, но коэффициенты выписать могу быстро.
В той задаче мне нужны были только коэффициенты.

[ИСН]

Понял один такой, ога...

-- Чт, 2011-03-24, 00:32 --

Нет, ну ладно, и какие же будут коэффициенты?