Определение коники (проективная геометрия)

[David Sunrise]

Прошу помочь решить такую задачу,даже не знаю с чего начинать,вот:
Пусть есть проективное преобразование пучка прямых,в какой-то другой,тогда пересечения прямых первого пучка и соответственно их образов (при переходе в второй) образуют конику...вот,с заранее спасибо...

[David Sunrise]

Что то с вопросом не то?...или никто не знает?

[Xaositect]

А где вопрос-то? Доказать утверждение надо?
В таком случае пишете уравнение пучка прямых, пишете уравнение образа, находите точку пересечения. Получаете параметрическое уравнение какой-то кривой.

[Sonic86]

Да вот как бы вроде просто все. Нужно записать уравнение прямой пучка в общем виде, записать уравнение образа прямой при проективном преобразовании. Если я правильно помню - это легко сделать, ибо проективное преобразование описывается невырожденной матрицей $3 \times 3$. И описать в общем виде пересечение и проверить, что это коника.

Только вот на самом деле я не знаю как выглядит курс проективной геометрии. Мое решение подойдет для заочников, а если у Вас там аксиоматика и пр. - я не знаю тогда.

[David Sunrise]

Да мне нужно доказать,что таким образом образуется коника,как записать уравнение пучка прямых в проективном пространстве? Это же будет множество плоскостей проходящих через прямую,как к такой "штуке" применить проективное преобразование то есть матрицу три на три?вот что мне не понятно: как будет выглядеть общее уравнение пучка прямых в проективной плоскости (плоскостей в трех мерном пр)?и как тогда к нему (то есть как я понимаю к какому-то уравнению с двумя переменными),применить проективное преобразование,как нам рассказывали это какая-то матрица три на три....но может я не так понял....

-- Вт мар 22, 2011 18:35:22 --

Да но даже если я напишу уравнение пучка прямых (но не понимаю как это сделать,работать с плоскостями или прямыми),как к нему применить матрицу три на три?

[Sonic86]

David Sunrise писал(а):

Да но даже если я напишу уравнение пучка прямых (но не понимаю как это сделать,работать с плоскостями или прямыми),как к нему применить матрицу три на три?

Я применял преобразование отдельно к центру пучка, отдельно - ко второй точке прямой. По паре образов точек получается образ прямой.
Если не можете уравнение пучка в проективной плоскости написать - напишите (не в чистовике) уравнение пучка в обычной плоскости, а потом перейдите в проективную.

[David Sunrise]

Ну а как будет тогда будет выглядеть проективное преобразование(матрица три на три),если сейчас мы работаем на двумерной аффинной карте,(понятно что она будет два на два),видимо придется писать матрицу ограничения на эту карту-плоскость,но это же жутко(особенно в общем виде)))может есть способ по проще?

[Xaositect]

David Sunrise в сообщении #426254 писал(а):

если сейчас мы работаем на двумерной аффинной карте

Не надо работать на аффинной карте. Пишите все сразу в однородных координатах.

[David Sunrise]

Так,ну взял два произвольных вектора,проходящих через (0,0),координаты одного фиксированные,другого переменные ,взял их векторное произведение и написал общее уравнение перпендикулярных фиксированному,то есть "переводя на язык плоскостей"множество всех плоскостей проходящих через прямую (которая определяется точкой (0,0) и направлением фиксированного вектора),получил пучок плоскостей,и его координаты...
К этим координатам,применяю матрицу 3х3 (проективного преобразования),точно так же применяю ее к вектору с фиксированными координатами,(и что меня ужасает что они после преобразования могут стать не ортогональными),теперь ищу прямые по которым пересекаются плоскости и их образы,пересекаю их с произвольной плоскостью и должен получить уравнение второй степени...вот это так как я это представляю,пока это как то ужасно,муторно и по моему не совсем верно (особенно про ортогональность,после преобразования)....

[Xaositect]

Хм.
Откуда у Вас пространство появилось? Вы представляете проективную плоскость как множество направлений пространства?

Прямая - это объект, двойственный точке, то бишь линейная форма. У прямой, уравнение которой в однородных координатах имеет вид $\alpha x + \beta y + \gamma z = 0$ однородными координатами будут $(\alpha\colon\beta\colon\gamma)$. Пучок в таких координатах - линейное семейство. Если координаты точек проективным преобразованием преобразуются с помощью матрицы $A$, то координаты прямых будут преобразовываться сопряженной матрицей $A^T$. Дальше пересекаем два линейных семейства прямых, получаем, что однородные координаты точки пересечения квадратично зависят от параметра и доказываем, что это коника (там пятимерное пространство многочленов до четвертой степени и шесть членов в уравнении, так что все линейно зависимо и из этого получается каноническое уравнение коники в однородных координатах)

[David Sunrise]

Ну я представляю проективную плоскость как множество прямых пространства проходящих через какую то точку,ну и так как координаты однородные я могу разделить $(x_1:y_1:z_1)$ на $z_1$ получая $(x_1/z_1:y_1/z_1:1)$ "фиксированную" плоскость про которую я говорил аффинная карта...ну да вообщем вы правы наверное это тоже самое что множество направлений пространства....
Как я понял, $ax+by+cz=0$,это и есть пучок прямых?ну при параметрах $a,b,c$...А от куда взялась транспонированная матрица,почему однородные координаты именно при помощи транспанированной (они же то же самое что и прямая)?

[Xaositect]

$ax + by + cz = 0$ - это прямая. Пучок будет $a(p)x + b(p)y + c(p)z = 0$, где $a,b,c$ - линейные выражения от параметра $p$.

По поводу транспонированной матрицы. Я ошибся, она там должна быть не транспонированная, а обратная к транспонированной. Если координаты точки преобразуются по закону $\tilde{x} = (x\colon y\colon z) \mapsto A\tilde{x}$, то координаты прямой $(a\colon b\colon c)$ прямой $ax + by + cz = 0$ будут преобразовываться с помощью обратной транспонированной матрицы. Докажите сами. Например, при аффинном преобразовании $x' = x+y$ прямая $ax+by+cz = 0$ перейдет в $a(x'-y)+by+cz = ax' + (b-a)y + cz = 0$. Т.е. координаты точки преобразовываются с помощью $\left(\begin{matrix}1& 1& 0\\0& 1& 0\\0& 0& 1\end{matrix}\right)$, а координаты прямой - с помощью обратной транспонированной $\left(\begin{matrix}1& 0& 0\\-1& 1& 0\\0& 0& 1\end{matrix}\right)$
Это, в принципе, не особо важно. Главное, что они преобразовываются линейно.

[David Sunrise]

Да я не против доказать сам,но ведь точка в проективной плоскости и есть прямая мы же можем умножать их на то что вздумается...наверное у меня некая путаница с проективной геометрией(

[Xaositect]

David Sunrise в сообщении #426386 писал(а):

Да я не против доказать сам,но ведь точка в проективной плоскости и есть прямая мы же можем умножать их на то что вздумается...наверное у меня некая путаница с проективной геометрией(

Ну да, точка - это прямая, а прямая - это плоскость. Но после того, как мы однородные координаты ввели, нас это волновать особо не должно. Точнее, однородные координаты как раз этот факт и выражают в некотором смысле.
Вы понимаете, что прямая в проективной плоскости задается уравнением $ax+by+cz=0$ в однородных координатах?

[David Sunrise]

Ну это уравнение плоскости,а она пересекает какую-то плоскость(в которой все происходит) по прямой...так?если честно не очень,всегда думал что у прямой есть каноническое уравнение и параметрическое и все...