Есть степень сжимающего оператора

[Gortaur]

Есть линейный оператор $T$ такой что $T^n$ сжимающий для некоторого $n$. Следует ли тогда, что $u=Tu$ имеет единственное решение?

[Padawan]

Следует, и не обязательно для линейного. См. Колмогоров, Фомин. Да, пространство должно быть полным.

[Gortaur]

Ок, про полноту ясное дело. То есть не обязательно чтобы сам оператор был сжимающим, достаточно лишь чтобы была его степень?

[svv]

Да. У Колмогорова и Фомина при доказательстве принципа сжимающих отображений показано, что последовательность $\{x_n\}$ ($x_n=A^n x_0$, $x_0$ -- произвольная точка) фундаментальна, следовательно, она сходится, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

[Oleg Zubelevich]

Да и вообще, оператор, коммутирующий со сжимающим оператором, имеет неподвижную точку.
Или так: оператор коммутирующий с оператором, неподвижная точка которого единственна, сам имеет неподвижную точку