Возьмите, например, множество точек единичного квадрата, у которых обе координаты рациональны. Почему оно неизмеримо? Потому что есть критерий: Ограниченное множество измеримо

его граница имеет меру 0.
З.Ы. Везде подразумевалась мера Жордана и измеримость по Жордану.
З.З.Ы. Прошу прощения, пропустил слово "область" в условии, поэтому мой пример не годится.