Произведение трех последовательных (среднее - куб)

[EduHcTBeHHaya]

Найти наибольшее целое число, на которое обязано делиться произведение трех последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом целого числа.

[age]

произведение трех последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом целого числа $(a^3-1)a^3(a^3+1)\div a^3$.

Наибольшего числа не существует, т.к. при $a\to\infty$, $a^3\to\infty$

[spaits]

Все такие произведения делятся на $8\cdot3=24$.

[Xenia1996]

spaits в сообщении #424075 писал(а):

Все такие произведения делятся на $8\cdot3=24$.

Не 24, а 504.
Они, конечно, делятся на 24, но оно - не наибольшее.

-- Чт мар 17, 2011 23:46:04 --

age в сообщении #424074 писал(а):

произведение трех последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом целого числа $(a^3-1)a^3(a^3+1)\div a^3$.

Наибольшего числа не существует, т.к. при $a\to\infty$, $a^3\to\infty$

Вы не внимательно читали. Ира написала "обязано делиться".

-- Чт мар 17, 2011 23:54:58 --

Кубы дарамдаш плюс-минус единичку по модулям 7 и 9, стало быть, на 63 уже обязано делиться.
Если куб чётный -> делится на 8, если нет - остаток на 8 будет 1, 3, 5, или 7, тогда одно из крайних чисел делится на 4, другое - на 2. Итого 7*8*9=504.
Больше не будет, ибо 7*8*9 также является произведением трёх последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом целого числа.

[age]

Xenia1996 в сообщении #424077 писал(а):

Вы не внимательно читали. Ира написала "обязано делиться".

$(a^3-1)a^3(a^3+1)$ обязано делиться на $a^3$.

[Equinoxe]

age, а почему же не на $ a^9-a^3 $ сразу? :)
А вообще да, условие надо точнее писать.

[Xenia1996]

age в сообщении #424086 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #424077 писал(а):

Вы не внимательно читали. Ира написала "обязано делиться".

$(a^3-1)a^3(a^3+1)$ обязано делиться на $a^3$.

Правильно, но куб кубу рознь.
В условии спрашивалось про наибольшее целое.
Такое целое=504, ибо ни на какое из целых чисел, превышающих 504, наше произведение не обязано делиться.

-- Пт мар 18, 2011 00:25:39 --

Equinoxe в сообщении #424087 писал(а):

age, а почему же не на $ a^9-a^3 $ сразу? :)
А вообще да, условие надо точнее писать.

По-моему, условие достаточно корректно.
Произведение, описанное в условии, обязано делиться на 504, но не обязано делиться ни на одно из целых >504.

[Equinoxe]

Почему же, число $ a^9-a^3 $ вполне себе целое, >=504 и $ (a^3-1)a^3(a^3+1) $ вполне на него делится (как минимум потому, что равно ему), ошибка формулировки в том, что не указано, что число должно быть константным для всех.

[age]

Число 504 является наибольшим целым, на которое обязаны делиться все произведения $(a^3-1)a^3(a^3+1)$. Если брать произведение, как это сформулировано в задаче, то наибольшим целым является $a^9-a^3$.

[Xenia1996]

Equinoxe в сообщении #424095 писал(а):

Почему же, число $ a^9-a^3 $ вполне себе целое, >=504 и $ (a^3-1)a^3(a^3+1) $ вполне на него делится (как минимум потому, что равно ему), ошибка формулировки в том, что не указано, что число должно быть константным для всех.

В принципе, если бы я писала условие, я бы добавила слово "фиксированное".

[Equinoxe]

То же самое для a^4:
Для a=2 — 4080 = 2^4*3*5*17
Остаток по 8: для 5 не получается
Остаток по 4: все от 0 до 3 (остаток по модулю) получаются
Взяли 4
Остаток по 3: хотя бы одно из трех последовательных чисел точно делится
Взяли 3
Остаток по 5: для 3 не получается
Остаток по 17: аналогично 5-ти

Итого 4*3=12

[age]

Прошу прощения, что удалил пост, счёл задачу неинтересной (в условии было если заменить куб на $a^4$)

[Equinoxe]

age, ага, а взамен придумаете что-то интересное? :)

[age]

Да, пожалуй. На какое простое $n$ необходимо заменить куб, чтобы целое число, на которое делится всякое произведение из задачи, стало наибольшим.