Доказать, что алгебра является полем

[Maddoggg]

Никак не могу решить
Задача 2. Доказать, что двумерная алгебра над полем $\mathbb Z_{2}$ с базисом $\{1,\alpha\}$ и правилом умножения:
$1\times 1=1$,
$\alpha\times 1=\alpha$,
$1\times \alpha=\alpha$,
$\alpha\times \alpha=1+\alpha$
является полем (из 4 элементов).
Я никак не пойму... Какие 4 элемента? Это: $\{0,1,\alpha,\alpha^{-1}\}$ ? Если да, то как доказать, что $\alpha^{-1}$ является элементом поля?

[Leox]

Maddoggg в сообщении #423769 писал(а):

Никак не могу решить
Задача 2. Доказать, что двумерная алгебра над полем $\mathbb Z_{2}$ с базисом $\{1,\alpha\}$ и правилом умножения:
$1\times 1=1$,
$\alpha\times 1=\alpha$,
$1\times \alpha=\alpha$,
$\alpha\times \alpha=1+\alpha$
является полем (из 4 элементов).
Я никак не пойму... Какие 4 элемента? Это: $\{0,1,\alpha,\alpha^{-1}\}$ ? Если да, то как доказать, что $\alpha^{-1}$ является элементом поля?

$\{0,1,\alpha,\alpha+1\}$

[Maddoggg]

А разве обратные элементы еще не должны принадлежать самому полю? Если брать еще и $1+\alpha$, то там уже 6 элементов получается.

[Leox]

Maddoggg в сообщении #423778 писал(а):

А разве обратные элементы еще не должны принадлежать самому полю? Если брать еще и $1+\alpha$, то там уже 6 элементов получается.

Должны, но они выражаются через 1 и $\alpha:$ докажитe, что $\alpha^{-1}=\alpha^2$ и $(1+\alpha)^{-1}=\alpha.$

[Maddoggg]

У меня как-то странно получается...
$\alpha^{-1}\times \alpha=1$ если брать $\alpha^{-1}=\alpha^2$, то $\alpha^{2}\times \alpha=1$, тогда $(1+ \alpha)\times \alpha=1$. Но $(1+\alpha)\times \alpha=\alpha+1+\alpha$

[ewert]

Maddoggg в сообщении #423769 писал(а):

Какие 4 элемента?

Лучше изменить обозначения (по крайней мере временно) и обозначить базисные элементы как $\{\mathbf{e},\mathbf{a}\}$. Тогда Ваша "алгебра" -- это прежде всего линейное пространство с четырьмя элементами $0\mathbf{e}+0\mathbf{a}=\mathbf{o}$, $1\mathbf{e}+0\mathbf{a}=\mathbf{e}$, $0\mathbf{e}+1\mathbf{a}=\mathbf{a}$ и $1\mathbf{e}+1\mathbf{a}=(\mathbf{e}+\mathbf{a})$. Операция сложения и её свойства на этих четырёх элементах определяется аксиомами линейного пространства; в частности, оказывается, что $\mathbf{o}$ -- это нулевой элемент. Операции умножения пока нет. Но вот если теперь задать ту самую табличку умножения два на два, то она по дистрибутивности расширяется на все 16 пар элементов и получается действительно алгебра. Заполните её -- и увидите, что каждый из элементов $\mathbf{a}$ и $(\mathbf{e}+\mathbf{a})$ действительно имеет обратный по умножению, а заодно и чему этот обратный равен.

[Leox]

Все правильно - $\alpha+\alpha=0.$

[ewert]

Maddoggg в сообщении #423782 писал(а):

Но $(1+\alpha)\times \alpha=\alpha+1+\alpha$

$\mathbf{a}+\mathbf{a}\equiv1\mathbf{a}+1\mathbf{a}=(1+1)\mathbf{a}$. А чему равно $1+1$?...

[Leox]

неправильно.. какие свойства операций в $\mathbb{Z}_2?$

[Maddoggg]

Leox ой, извините, я думал никто не увидел и удалил пост:)

Цитата:

А чему равно $1+1$?...

Не $0$ ли?

-- Чт мар 17, 2011 13:36:42 --

Цитата:

неправильно.. какие свойства операций в $\mathbb Z_{2}$?

И сложение и умножение ассоциативно?

[ewert]

Цитата:

Цитата:

А чему равно $1+1$?...

Не $0$ ли?

Вот именно. Так что -- никаких противоречий.

[Maddoggg]

Я построил таблицу как вы сказали... Теперь все понял. $1+\alpha$ и $\alpha$- обратные друг другу... Только я не понял почему $1+1=0$ Из-за того что это выполняется в $\mathbb Z_{2}$?

[ewert]

Maddoggg в сообщении #423802 писал(а):

Только я не понял почему $1+1=0$ Из-за того что это выполняется в $\mathbb Z_{2}$?

А я вот именно для этого и предлагал сменить обозначения -- чтобы не смешивать единичный элемент $1$ поля $\mathbb Z_2$ и единичный элемент $\mathbf{e}$ алгебры.

[Maddoggg]

Т.е. не из-за того что в поле $\mathbb Z_{2}$ $1+1=0$? Тогда почему?

[ewert]

Maddoggg в сообщении #423811 писал(а):

Т.е. не из-за того что в поле $\mathbb Z_{2}$ $1+1=0$?

Именно из-за этого, только это надо доказывать. Распишу немного подробнее:

$\mathbf{a}+\mathbf{a}\equiv(0\mathbf{e}+1\mathbf{a})+(0\mathbf{e}+1\mathbf{a})=(0+0)\mathbf{e}+(1+1)\mathbf{a}=0\mathbf{e}+0\mathbf{a}\equiv\mathbf{o}$

(три чёрточки здесь означают "равно по определению", точнее по обозначению; второе равенство следует из аксиом линейного пространства, третье -- потому, что пространство над полем именно $\mathbb{Z}_2$).