асимптотическое поведение последовательностей

[REM]

Почему, если \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$ стремится к единице (\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=\infty^{0}=1$), \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty$? Если подкоренное выражение заменить на факториал, то доказательство будет аналогичным: \lim_{n\to\infty}n!^{\frac{1}{n}}=\infty^{0}=1$. В чём ошибка, кроме того, что бесконечность нельзя возводить в степень?

[Imperator]

REM в сообщении #423544 писал(а):

доказательство будет аналогичным: \lim_{n\to\infty}n!^{\frac{1}{n}}=\infty^{0}=1$

По-вашему, это доказательство?

[svv]

Ошибка только в этом: бесконечность нельзя возводить в нулевую степень. Результат не определен.
В выражении $x^{1/y}$ если увеличивать только $x$, это увеличивает значение выражения. Если увеличивать только $y$ -- уменьшает. Если увеличивать оба -- зависит от того, кто кого.
В Вашем случае явно преобладает влияние $x=n!$ над $y=n$. Но это "на глазок". Точный результат находится строгими методами.

[mihailm]

REM в сообщении #423544 писал(а):

...
В чём ошибка, кроме того, что бесконечность нельзя возводить в степень?

В остальном все правильно)

[REM]

Цитата:

Точный результат находится строгими методами.

Реквестирую наводку на способ доказательства.

[svv]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Раскрытие_неопределённостей.
Собственно, там для Вас только идея, что нужно прологарифмировать, после чего неопределенность станет другого типа ($0 \cdot \infty$).
Ну, ещё -- название темы, которую нужно искать в учебниках. Сами учебники не подскажу -- не знаю.
Реквест сатисфицирован?

[Legioner93]

Также вам будет интересна формула Муавра — Стирлинга.

[svv]

Да, это следующий шаг после логарифмирования.

[REM]

REM в сообщении #423555 писал(а):

Цитата:

Точный результат находится строгими методами.

Реквестирую наводку на способ доказательства.

Если я правильно понял, то доказательство первого выглядит так:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=[\infty^{0}]=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}}=e^{0}=1.

А второго -- как-то так:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\lim_{n\to\infty}n!^{\frac{1}{n}}=[\infty^{0}]=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n!}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln n-n}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\ln n-1}=e^{\infty}=\infty

Верно?

[svv]

В первом правильно до $\frac {\ln n} n$ включительно. Далее: это неопределенность $\frac {\infty}{\infty}$, применяем правило Лопиталя. Это значит, подставляем вместо числителя и знаменателя их производные по $n$, т.е. $\frac {1/n} 1$. Здесь уже нет неопределенности, предел при $n \to \infty$ равен $0$. Ну а $e^0=1$.

А, понял, Вы так и сделали -- применили правило Лопиталя. Тогда в первом все правильно.

Во втором тоже правильно.

[REM]

svv
Legioner93
Спасибо за помощь!

Цитата:

Во втором тоже правильно, только там описка -- не $\ln n+1$, а $\ln n -1$.

Поправил.

[svv]

Я уже тоже поправил.

[REM]

Ещё один вопрос.
Доказать, что \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Всегда принимал это как данное, а тут такое упражнение. Достаточно ли указать, что \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}n} \to 0, т.к. остаток от деления константы на бесконечно большое число стремится к числу бесконечно малому?

[ShMaxG]

REM в сообщении #423707 писал(а):

Доказать, что $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.

Жахните определение предела.

[REM]

ShMaxG
Т.е. \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0, потому что \left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\epsilon при $n > \epsilon$?