Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Новая тема Ответить На страницу 1, 2  След.
 асимптотическое поведение последовательностей


14/03/11
13
Почему, если \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$ стремится к единице (\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=\infty^{0}=1$), \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty$? Если подкоренное выражение заменить на факториал, то доказательство будет аналогичным: \lim_{n\to\infty}n!^{\frac{1}{n}}=\infty^{0}=1$. В чём ошибка, кроме того, что бесконечность нельзя возводить в степень?

Профиль
 Re: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} и \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}


30/06/06
313
REM в сообщении #423544 писал(а):
доказательство будет аналогичным: \lim_{n\to\infty}n!^{\frac{1}{n}}=\infty^{0}=1$

По-вашему, это доказательство?

Профиль
 Re: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} и \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
11010
Ошибка только в этом: бесконечность нельзя возводить в нулевую степень. Результат не определен.
В выражении $x^{1/y}$ если увеличивать только $x$, это увеличивает значение выражения. Если увеличивать только $y$ -- уменьшает. Если увеличивать оба -- зависит от того, кто кого.
В Вашем случае явно преобладает влияние $x=n!$ над $y=n$. Но это "на глазок". Точный результат находится строгими методами.

Профиль
 Re: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} и \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}


19/05/10

3940
Россия
REM в сообщении #423544 писал(а):
...
В чём ошибка, кроме того, что бесконечность нельзя возводить в степень?


В остальном все правильно)

Профиль
 


14/03/11
13
Цитата:
Точный результат находится строгими методами.

Реквестирую наводку на способ доказательства.

Профиль
 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
11010
http://ru.wikipedia.org/wiki/Раскрытие_неопределённостей.
Собственно, там для Вас только идея, что нужно прологарифмировать, после чего неопределенность станет другого типа ($0 \cdot \infty$).
Ну, ещё -- название темы, которую нужно искать в учебниках. Сами учебники не подскажу -- не знаю.
Реквест сатисфицирован?

Профиль
 Re: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} и \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Также вам будет интересна формула Муавра — Стирлинга.

Профиль
 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
11010
Да, это следующий шаг после логарифмирования.

Профиль
 Re:


14/03/11
13
REM в сообщении #423555 писал(а):
Цитата:
Точный результат находится строгими методами.

Реквестирую наводку на способ доказательства.

Если я правильно понял, то доказательство первого выглядит так:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=[\infty^{0}]=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}}=e^{0}=1.

А второго -- как-то так:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\lim_{n\to\infty}n!^{\frac{1}{n}}=[\infty^{0}]=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n!}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln n-n}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\ln n-1}=e^{\infty}=\infty

Верно?

Профиль
 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
11010
В первом правильно до $\frac {\ln n} n$ включительно. Далее: это неопределенность $\frac {\infty}{\infty}$, применяем правило Лопиталя. Это значит, подставляем вместо числителя и знаменателя их производные по $n$, т.е. $\frac {1/n} 1$. Здесь уже нет неопределенности, предел при $n \to \infty$ равен $0$. Ну а $e^0=1$.

А, понял, Вы так и сделали -- применили правило Лопиталя. Тогда в первом все правильно.

Во втором тоже правильно.

Профиль
 


14/03/11
13
svv
Legioner93
Спасибо за помощь!

Цитата:
Во втором тоже правильно, только там описка -- не $\ln n+1$, а $\ln n -1$.

Поправил.

Профиль
 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
11010
Я уже тоже поправил. :-)

Профиль
 \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} и \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}


14/03/11
13
Ещё один вопрос.
Доказать, что \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Всегда принимал это как данное, а тут такое упражнение. Достаточно ли указать, что \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}n} \to 0, т.к. остаток от деления константы на бесконечно большое число стремится к числу бесконечно малому?

Профиль
 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2765
Физтех
REM в сообщении #423707 писал(а):
Доказать, что $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.

Жахните определение предела.

Профиль
 


14/03/11
13
ShMaxG
Т.е. \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0, потому что \left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\epsilon при $n > \epsilon$?

Профиль
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Новая тема Ответить  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей



Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group