задачи по линейной алгебре

[swact]

Помогите решить две задачи:
№1.
Как изменить матрица линейного преобразования, заданная в базисе $e_1,e_2,...,e_n$, если
а) поменять местами $e_i$ и $e_j$ (в ответе пишут, что будут меняться местами не только $i$-й и $j$-й столбец, но и $i$-ая и $j$-ая строки)
б) вектор $e_i$ умножить на $\lambda \ne 0$

Как я понял столбцы матрицы линейного преобразования задают базисные векторы. Но почему например в случае а) будут меняться местами не только $i$-й и $j$-й столбец, но и $i$-ая и $j$-ая строки, я не могу понять.

№2.
Координатные столбцы векторов $a_1,a_2,a_3$;$b_1,b_2,b_3$;$c_1,c_2,c_3$ образуют соответственно три квадратных матрицы 3-го порядка.
Линейное преобразование $\phi$ переводит векторы $a_1,a_2,a_3$
в $b_1,b_2,b_3$, а линейное преобразование $\psi$ переводит $b_1,b_2,b_3$ в
$c_1,c_2,c_3$ соответственно. Найти матрицу преобразования $\psi\phi$
1) в исходном базисе;
2) в базисе $a_1,a_2,a_3$

Подскажите как решать первую задачу, а потом вторую будем обсуждать. (Думаю, что для второй задачи мне нужно понимание, как делать первую)

[ewert]

swact в сообщении #423412 писал(а):

Но почему например в случае а) будут меняться местами не только $i$-й и $j$-й столбец, но и $i$-ая и $j$-ая строки, я не могу понять.

Да попросту потому, что меняется базис не только на выходе, но и на входе (ну или наоборот). В одном случае приходится применять соотв. преобразование к строкам, в другом же -- к столбцам, вот и всё.

[swact]

ewert
как понять слова "выход" и "вход"?
Это что-то вроде схемы
вход(перестановка столбцов)$\to$выполнение преобразования$\to$выход(перестановка строк)?

[bot]

Вспомните определение матрицы линейного преобразования. Вам требуется ответить на два вопроса, из которых всё и следует:
1) Какие числа стоят в i-ом столбце?
2) В каком порядке они стоят?