вычислить интеграл от Комплексной функции

[NeBotan]

День добрый. Решаю следующие задачи:

1) вычислить $\int_L e^{|z|^2}Rezdz$, где L - отрезок прямой, соединяющей точки $z_1=0,\;\; z_2=1+i$

2) вычислить $\int_L zRezdz$, где L - окружность $|z|=1$. Обход против часовой стрелки.

Я так понял, что первый пример надо решать, приводя интеграл к двум криволинейным интегралам вида

$\int_L f(z)dz=\int_L u(x,y)dx-v(x,y)dy+i \int_L v(x,y)dx+u(x,y)dy$

но я не понял, как мне расписать мою функцию z через х,у? Можно представить $z=x+iy$?
И во втором примере возможно использование такого же разложения?

[zhekas]

NeBotan в сообщении #423214 писал(а):

День добрый. Решаю следующие задачи:

1) вычислить $\int_L e^{|z|^2}Rezdz$, где L - отрезок прямой, соединяющей точки $z_1=0,\;\; z_2=1+i$

2) вычислить $\int_L zRezdz$, где L - окружность $|z|=1$. Обход против часовой стрелки.

Я так понял, что первый пример надо решать, приводя интеграл к двум криволинейным интегралам вида

$\int_L f(z)dz=\int_L u(x,y)dx-v(x,y)dy+i \int_L v(x,y)dx+u(x,y)dy$

но я не понял, как мне расписать мою функцию z через х,у? Можно представить $z=x+iy$?
И во втором примере возможно использование такого же разложения?

1) Надо параметризовать путь z(t)=t+i\cdto t=t(1+i), где t меняется от 0 до 1, тогда
$\int_L e^{|z|^2}Rezdz$=\int\limits_0^1 e^{2t^2}\cdot t\,dt(1+i)=(1+i)\int\limits_0^1 e^{2t^2}\cdot t\,dt
дальше, перешли на обычный вещественный интеграл

-- Вт мар 15, 2011 17:50:54 --

2) точно также параметризуем путь L
z(t)=\cos{t}+i\sin{t} t меняется от 0 до 2\pi
тогда наш интеграл разобьётся на 2 вещественных интеграла

[NeBotan]

а ничего, что по определению $z=x+iy$ и у может быть не равен х????

[zhekas]

у вас путь L - это отрезок от 0 до 1+i. На этом отрезке x=y

[NeBotan]

убедил.