нормированные пространства

[Oleg Zubelevich]

Почти очевидное утверждение, которое регулярно без каких-либо объяснений используется в монографии Лионса по нелинейным УРЧП.

Пусть $(X,\|\cdot\|_X),\,(Y,\|\cdot\|_Y)$ -- линейные нормированные пространства. Снабдим пространство $V=X\bigcap Y$ нормой $\|\cdot\|=\|\cdot\|_X+\|\cdot\|_Y$.

Задача: Доказать, что $V'=X'+Y'$.

[sup]

Пусть $\varphi \in X', \psi \in Y'$. Рассмотрев произвольный элемент $u \in X \bigcap Y$, легко убедиться, что
$|| \varphi + \psi ||_{V'} \leqslant || \varphi ||_{X'} +|| \psi ||_{Y'}$
Обратно, рассмотрим пространство пар $Z = X \times Y$ с нормой $||(x,y)||_Z=||x||_X+||y||_Y$. Тогда всякий функционал $\chi \in V'$ можно рассматривать как функционал на "диагонали" $Z$. По теореме Хана-Банаха он продолжается на все $Z$. Отсюда вытекает, что для некоторых $\varphi \in X', \psi \in Y'$, $\chi =\varphi + \psi$