линейно зависимые столбцы в тензорном произведении

[spk]

Всем здравствуйте!

У меня такая проблема:
есть две матрицы $\underset{n \times m}{A}$ и $\underset{t \times l}{B}$ над некоторым расширенным полем $GF(2^r)$: $n < m$ и $t < l$. Для $A$ минимальное количество линейно зависимых над $GF(2)$ столбцов равно $\tilde{n}$. Для $B$ минимальное количество линейно зависимых над $GF(2)$ столбцов равно $\tilde{l}$. Требуется определить нижнюю границу минимального количества линейно зависимых над $GF(2)$ столбцов тензорного произведения $A \otimes B$.

Спасибо!

[Leox]

Непонятно какое поле все таки $GF(2^r)$ или $GF(2)?$

Если минимальное количество линейно зависимых столбцов равно $\tilde n,$ то тогда любые $\tilde n-1$ стобцов уже будут линейно независимые и размерность пространства столбцов $\geq \tilde n-1.$

так что нижняя оценка, как мне кажется, равна $(\tilde n-1) (\tilde l-1).$

[spk]

Спасибо за ответ!

Матрицы определены над полем $GF(2^r)$, но ищется минимальное количество столбцов, линейно зависимых над простым подполем $GF(2)$.
$(\tilde{n} - 1) \cdot (\tilde{l} - 1)$ - это ведь размерность пространства столбцов тензорного произведения. Однако, нет никакой гарантии, что среди оставшихся столбцов нет линейных зависимых.

Есть такое соображение:
1) у $B$ линейная зависимость столбцов сохранится при умножении $B$ на скаляр - элемент матрицы $A$. Следовательно, минимальное число линейно зависимых столбцов в $A \otimes B$ уже не больше чем $\tilde{n}$
2) произведение $A \otimes B$ перестановкой столбцов можно привести к виду $B \otimes A$. Следовательно, минимальное число линейно зависимых столбцов в $A \otimes B$ также не больше чем $\tilde{l}$.
Таким образом, все это должно быть не больше, чем $\min(\tilde{n}, \tilde{l})$.

[Leox]

Матрицы и конкретное поле зденсь не имеют значения. Ситуация следующая - есть два векторных пространства $V_1, V_2$ причем $\dim V_1 \geq d_1,$ $\dim V_2 \geq d_2.$ Тогда, очевидно, $\dim V_1 \otimes V_2 \geq d_1 d_2.$


Ваши соображения проходят для обычного умножения матриц а не тензорного.

[spk]

Можете пояснить, пожалуйста, поподробней, где тогда ошибка в следующих рассуждениях:
у нас есть линейные операторы с базисами $A$ и $B$, представленными в виде матриц. Тогда базис их тензорного (Кронекеровского) произведения будет представлен в виде блочной матрицы: $\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} \cdot B & \ldots & a_{1,n} \cdot B \\ & \vdots & \\ a_{t,1} \cdot B & \ldots & a_{t,n} \cdot B \end{array} \right)$.
И минимально возможное количество линейно зависимых столбцов в этой матрице не превосходит их числа для матрицы $B$. Вроде бы здесь базис линейного пространства излишен, для этой задачи достаточно обходиться понятиями "таблица" и "линейная комбинация".

А исходя из каких соображений, Вы даете оценку $(\dim(A) - 1) \cdot (\dim(B) -1 )$ на минимальное число линейно зависимых столбцов? Как гарантировать, что среди оставшихся столбцов нет линейно зависимых?

Спасибо.