базисы в конечных полях

[jhanjaa]

Пожалуйста, кто может, ответьте: в конечном поле, которое является векторным пространством над своим подполем, аналогом ортонормированного базиса является автодуальный. В любом ли векторном пространстве над конечным полем такой базис существует и нет ли процесса "автодуализации", аналогичного процессу ортогонализации в векторных пространствах над полями бесконечной (нулевой) характеристики?

[Xaositect]

Напишите определение автодуального базиса, пожалуйста.

[jhanjaa]

Пусть К-конечное поле, F-его конечное расширение.Тогда 2 базиса {$a_1,...a_m$} и {$b_1,...b_m$} поля F над К называются дуальными, если для $1\le i,j\le m$
$Tr_{F/K} (a_i b_j)=${0, $i \not = j$; 1, i=j}.
Базис дуальный сам себе называется автодуальным.

[Xaositect]

Лидл, Нидеррайтер, комментарий к главе 2. В характеристике 2 всегда существует автодуальный базис, в нечетной характеристике - если степень расширения нечетна. Всегда существует базис, ортогональный относительно билинейной формы $\left<a,b\right> = \mathrm{Tr}(ab)$.

По поводу процесса Грама-Шмидта. Он действительно достаточно просто модифицируется для нахождения ортогонального базиса. Проблемным является случай, когда для некоторого элемента базиса $\left<u,u\right>=0$ в этом случае в характеристике $\neq 2$ можно привести еще один вектор с помощью преобразования $v\mapsto v+\alpha u$ к такому состоянию, что $\left<u,u\right> = 0, \left<v,v\right> = 0$, а после этого заменить $u,v$ на $u+v, u-v$. В характеристике 2 можно просто прибавить к $u$ вектор $v$ с ненулевым квадратом.

Грам-Шмидт с такой модификацией для элементов с нулевым квадратом вообще работает в характеристике $\neq 2$ для произвольного пространства и произвольной симметричной билинейной формы $\left<\cdot,\cdot\right>$.

[jhanjaa]

Спасибо.
Вот еще такой вопрос: в унитарном пространстве над С линейный оператор разлагается в произведение неотрицательного эрмитова и унитарного. Верно ли, что при замене С на конечное поле такое разложение сохраняется? Если да, то каков общий вид такого эрмитова оператора? Есть ли разложение по базису из аналогов $\sigma$-матриц?