Матрица Якоби

[cupuyc]

Здравствуйте. У меня есть некоторая неизвестная мне функция $\beta(\omega, \psi) : \mathbb{R}^{3 \times 3} \to \mathbb{R}^6$, причём, мне известна матрица её частных производных по $\omega$: $\frac{\partial\beta}{\partial\omega}= -\gamma B^{T}$, где $\gamma \in \mathbb{R}$ - некоторая константа, матрица $B \in \mathbb{R}^{3 \times 6}$ зависит от векторов $\psi$ и $\omega$. Мне необходимо найти матрицу $\frac{\partial\beta}{\partial\psi}$. Понятно, что таких матриц будет много, мне получить хотя бы одно частное решение (кстати, будет ли нулевая матрица являться решением?). Если решать задачу в лоб, то нужно дифференцировать исходную матрицу $\frac{\partial\beta}{\partial\omega}$, приравнивать вторые производные $\frac{\partial^2\beta_i}{\partial\psi_j\partial\omega_k} = \frac{\partial^2\beta_i}{\partial\omega_k\partial\psi_j}$ и решать систему ДУ в частных производных. Честно говоря, не очень-то мне хочется решать систему, уж слишком она громоздкая. Может кто-нибудь предложит более простой вариант решения?

[Vince Diesel]

А почему систему? Вроде по отдельности интегрировать можно:
$\frac{\partial \beta_i}{\partial\psi_j} = \int\frac{\partial}{\partial\psi_j}\frac{\partial\beta_i}{\partial\omega_k}\, d\omega_k+C(\ldots)$
Конечно, не всякая матрица $B$ будет якобианом, может и еще какие условия совместности нужны.

[cupuyc]

Vince Diesel, спасибо. Я нашёл ошибку в своём решении, так что, по видимому, вопрос уже не актуален. Как Вы правильно заметили, далеко не любая матрица может являться матрицей Якоби некоторой функции. У меня в ходе решения получилось выражение $A = \frac{\partial \beta}{\partial \omega} B C$, матрица $A$ должна быть отрицательно определённой, $B$ - является симметрической, $C$ - произвольная. Чтобы удовлетворить условию я выбрал матрицу $\frac{\partial \beta}{\partial \omega} = -\gamma C^T$. Но не учёл, что матрица $C^T$ не может являться матрицей Якоби. Сейчас, собственно, вообще не знаю что делать :( Как выбрать функцию $\beta$, чтобы удовлетворить условию отрицательной определённости матрицы $A$ ума не приложу?

[Vince Diesel]

Матрицы (квадратные?) $B$ (симметрическая) и $C$ произвольные заданные и надо найти $\beta$, чтобы получилась некоторая отрицательно определённая матрица $A$ ?

cupuyc в сообщении #423076 писал(а):

Как выбрать функцию , чтобы удовлетворить условию отрицательной определённости матрицы

Неплохо бы сначала доказать, что это возможно
Скажем, в какой-нибудь базис перейти, где $BC$ имеет вид попроще. Хотя, если $C$ произвольна, а $B$ невырождена, то и $BC$ тоже произвольна.

[cupuyc]

1. Можно решить задачу в частном случае (хотя бы), когда все матрицы квадратные. Такое решение тоже имеет смысл. Если решать задачу в более общем виде, то $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$, $B \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ - симметрическая, $C \in \mathbb{R}^{3 \times 6}$ и $\beta : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^6$.
2. Матрица $B$ - симметрическая и положительно определённая. Её компоненты неизвестны.
3. Компоненты матрицы $C$ зависят от некоторых переменных. Если её ранг равен трём, то функцию $\beta $ можно выбрать такую следующим образом $\frac{\partial \beta}{\partial \omega} = - \gamma C^T$. Тогда $- \gamma C^TBC$ - строго отрицательно определённая. Загвоздка в том, что в моём случае $C^T$ нельзя представить как матрицу Якоби некоторой функции. Можно попробовать взять некоторую другую матрицу, скажем $-\gamma\xi(\omega) C^T$, где $\xi$ - положительно определённая функция, которая, возможно, будет являться матрицей Якоби... Это я предполагаю возможный вариант решения...

[Vince Diesel]

cupuyc в сообщении #423380 писал(а):

Можно попробовать взять некоторую другую матрицу, скажем , где - положительно определённая функция, которая, возможно, будет являться матрицей Якоби...

Маловато одной функции. Там же много условий согласования будет. Непонятно, хватит ли для разрешимости, если взять в качестве $\xi(\omega)$ матрицу. И вообще, это вроде задачи о нахождении интегрирующего множителя, так что существование решения в укаком-то конкретном виде еще надо доказывать.

Рассмотрим случай квадратных невырожденных матриц. Допускаются ли комплексные матрицы? Если да, то зафиксировав точку и перейдя к базису, в котором матрица $BC$ имеет жорданову форму, в некоторой окрестности можно получить решение, взяв в качестве $$\frac{\partial\beta}{\partial\omega}$ постоянную диагональную матрицу, на диагонали которой стоят $-\bar \lambda_i$, где $\lambda_i$ - значения на диагонали жордановой формы $BC$.

[cupuyc]

Vince Diesel в сообщении #423390 писал(а):

Маловато одной функции. Там же много условий согласования будет. Непонятно, хватит ли для разрешимости, если взять в качестве $\xi(\omega)$ матрицу. И вообще, это вроде задачи о нахождении интегрирующего множителя, так что существование решения в укаком-то конкретном виде еще надо доказывать.

Мне не достаточно знать существует ли оно. Если существует - мне нужно его знать в явном виде. Если же не существует (или не получится найти, что в моём случае то же самое), то просто нужно решать другим методом.. Конечная цель - именно получить решение в явном виде.

Vince Diesel в сообщении #423390 писал(а):

Допускаются ли комплексные матрицы?

Интересный вопрос.. $B$, $C$ - по любому вещественные. $A$, по видимому, тоже должна быть вещественной. Точнее, уравнение $\dot{z} = A z$, где $z \in \mathbb{R}^6$ должно иметь тривиальное асимптотически устойчивое решение.

Vince Diesel в сообщении #423390 писал(а):

Если да, то зафиксировав точку и перейдя к базису, в котором матрица $BC$ имеет жорданову форму

Как это сделать, если компоненты $B неизвестны? известно лишь то, что $B$ симметрическая и положительно определённая. Насколько я понимаю, этой информации не достаточно для подобного преобразования.