2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матрица Якоби
Сообщение13.03.2011, 23:27 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Здравствуйте. У меня есть некоторая неизвестная мне функция $\beta(\omega, \psi) : \mathbb{R}^{3 \times 3} \to \mathbb{R}^6$, причём, мне известна матрица её частных производных по $\omega$: $\frac{\partial\beta}{\partial\omega}= -\gamma B^{T}$, где $\gamma \in \mathbb{R}$ - некоторая константа, матрица $B \in \mathbb{R}^{3 \times 6}$ зависит от векторов $\psi$ и $\omega$. Мне необходимо найти матрицу $\frac{\partial\beta}{\partial\psi}$. Понятно, что таких матриц будет много, мне получить хотя бы одно частное решение (кстати, будет ли нулевая матрица являться решением?). Если решать задачу в лоб, то нужно дифференцировать исходную матрицу $\frac{\partial\beta}{\partial\omega}$, приравнивать вторые производные $\frac{\partial^2\beta_i}{\partial\psi_j\partial\omega_k} = \frac{\partial^2\beta_i}{\partial\omega_k\partial\psi_j}$ и решать систему ДУ в частных производных. Честно говоря, не очень-то мне хочется решать систему, уж слишком она громоздкая. Может кто-нибудь предложит более простой вариант решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица Якоби
Сообщение14.03.2011, 11:48 
Заслуженный участник


25/02/11
1689
А почему систему? Вроде по отдельности интегрировать можно:
$\frac{\partial \beta_i}{\partial\psi_j} = \int\frac{\partial}{\partial\psi_j}\frac{\partial\beta_i}{\partial\omega_k}\, d\omega_k+C(\ldots)$
Конечно, не всякая матрица $B$ будет якобианом, может и еще какие условия совместности нужны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 09:50 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Vince Diesel, спасибо. Я нашёл ошибку в своём решении, так что, по видимому, вопрос уже не актуален. Как Вы правильно заметили, далеко не любая матрица может являться матрицей Якоби некоторой функции. У меня в ходе решения получилось выражение $A = \frac{\partial \beta}{\partial \omega} B C$, матрица $A$ должна быть отрицательно определённой, $B$ - является симметрической, $C$ - произвольная. Чтобы удовлетворить условию я выбрал матрицу $\frac{\partial \beta}{\partial \omega} = -\gamma C^T$. Но не учёл, что матрица $C^T$ не может являться матрицей Якоби. Сейчас, собственно, вообще не знаю что делать :( Как выбрать функцию $\beta$, чтобы удовлетворить условию отрицательной определённости матрицы $A$ ума не приложу?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 10:41 
Заслуженный участник


25/02/11
1689
Матрицы (квадратные?) $B$ (симметрическая) и $C$ произвольные заданные и надо найти $\beta$, чтобы получилась некоторая отрицательно определённая матрица $A$ ?
cupuyc в сообщении #423076 писал(а):
Как выбрать функцию , чтобы удовлетворить условию отрицательной определённости матрицы

Неплохо бы сначала доказать, что это возможно :D
Скажем, в какой-нибудь базис перейти, где $BC$ имеет вид попроще. Хотя, если $C$ произвольна, а $B$ невырождена, то и $BC$ тоже произвольна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 23:33 
Аватара пользователя


30/07/10
254
1. Можно решить задачу в частном случае (хотя бы), когда все матрицы квадратные. Такое решение тоже имеет смысл. Если решать задачу в более общем виде, то $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$, $B \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ - симметрическая, $C \in \mathbb{R}^{3 \times 6}$ и $\beta : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^6$.
2. Матрица $B$ - симметрическая и положительно определённая. Её компоненты неизвестны.
3. Компоненты матрицы $C$ зависят от некоторых переменных. Если её ранг равен трём, то функцию $\beta $ можно выбрать такую следующим образом $\frac{\partial \beta}{\partial \omega} = - \gamma C^T$. Тогда $- \gamma C^TBC$ - строго отрицательно определённая. Загвоздка в том, что в моём случае $C^T$ нельзя представить как матрицу Якоби некоторой функции. Можно попробовать взять некоторую другую матрицу, скажем $-\gamma\xi(\omega) C^T$, где $\xi$ - положительно определённая функция, которая, возможно, будет являться матрицей Якоби... Это я предполагаю возможный вариант решения...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 23:58 
Заслуженный участник


25/02/11
1689
cupuyc в сообщении #423380 писал(а):
Можно попробовать взять некоторую другую матрицу, скажем , где - положительно определённая функция, которая, возможно, будет являться матрицей Якоби...

Маловато одной функции. Там же много условий согласования будет. Непонятно, хватит ли для разрешимости, если взять в качестве $\xi(\omega)$ матрицу. И вообще, это вроде задачи о нахождении интегрирующего множителя, так что существование решения в укаком-то конкретном виде еще надо доказывать.

Рассмотрим случай квадратных невырожденных матриц. Допускаются ли комплексные матрицы? Если да, то зафиксировав точку и перейдя к базису, в котором матрица $BC$ имеет жорданову форму, в некоторой окрестности можно получить решение, взяв в качестве $$\frac{\partial\beta}{\partial\omega}$ постоянную диагональную матрицу, на диагонали которой стоят $-\bar \lambda_i$, где $\lambda_i$ - значения на диагонали жордановой формы $BC$.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение16.03.2011, 00:35 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Vince Diesel в сообщении #423390 писал(а):
Маловато одной функции. Там же много условий согласования будет. Непонятно, хватит ли для разрешимости, если взять в качестве $\xi(\omega)$ матрицу. И вообще, это вроде задачи о нахождении интегрирующего множителя, так что существование решения в укаком-то конкретном виде еще надо доказывать.
Мне не достаточно знать существует ли оно. Если существует - мне нужно его знать в явном виде. Если же не существует (или не получится найти, что в моём случае то же самое), то просто нужно решать другим методом.. Конечная цель - именно получить решение в явном виде.

Vince Diesel в сообщении #423390 писал(а):
Допускаются ли комплексные матрицы?
Интересный вопрос.. $B$, $C$ - по любому вещественные. $A$, по видимому, тоже должна быть вещественной. Точнее, уравнение $\dot{z} = A z$, где $z \in \mathbb{R}^6$ должно иметь тривиальное асимптотически устойчивое решение.

Vince Diesel в сообщении #423390 писал(а):
Если да, то зафиксировав точку и перейдя к базису, в котором матрица $BC$ имеет жорданову форму
Как это сделать, если компоненты $B неизвестны? известно лишь то, что $B$ симметрическая и положительно определённая. Насколько я понимаю, этой информации не достаточно для подобного преобразования.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group