2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти min/max школьным способом.
Сообщение13.03.2011, 11:02 
Как найти min/max линейной функции $Ax+By+Cz$ при условии что $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1?$ Не используя множители Лагранжа или касательные плоскости к елипсоиду.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2011, 11:07 
ввести какие нить обобщенные сферические координаты на эллипсоиде

 
 
 
 
Сообщение13.03.2011, 11:30 
Сугубо по-школьному. Из системы

$\begin{cases}Ax+By+Cz=m\\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\end{cases}$

исключить какую-либо переменную (скажем, $z$). Получится квадратное уравнение для $x$, в котором $y$ будет играть роль параметра. Потребовать, чтоб дискриминант этого выражения оказался неотрицательным. И затем -- чтобы полученное таким образом (опять же квадратное) неравенство для $y$ имело бы хоть одно решение. Это и будет искомым требованием на $m$.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2011, 20:21 
спасибо, попробую

 
 
 
 
Сообщение13.03.2011, 22:02 
Можете ещё сделать замену переменных
$x=r\cos\phi \cos\theta$, $y=r\sin\phi \cos\theta$, $z=r \sin\theta$
Тогда условием станет равенство r=1.
Остаётся воспользоваться общим свойством $|a\cos\alpha+b\sin\alpha|\le\sqrt(a^2+b^2)$.

 
 
 
 Re:
Сообщение14.03.2011, 22:39 
dovlato в сообщении #422615 писал(а):
Можете ещё сделать замену переменных
$x=r\cos\phi \cos\theta$, $y=r\sin\phi \cos\theta$, $z=r \sin\theta$
Тогда условием станет равенство r=1.
Остаётся воспользоваться общим свойством $|a\cos\alpha+b\sin\alpha|\le\sqrt(a^2+b^2)$.


получилось, спасибо

 
 
 
 
Сообщение14.03.2011, 22:52 
Если делать замену, то логично начать с растяжения, чтобы превратить эллипсоид в сферу.

 
 
 
 Re:
Сообщение14.03.2011, 23:22 
Vince Diesel в сообщении #422986 писал(а):
Если делать замену, то логично начать с растяжения, чтобы превратить эллипсоид в сферу.

там и получится сфера, просто формулы предложенные dovlato нужно подкорректировать

 
 
 
 
Сообщение14.03.2011, 23:27 
Leox в сообщении #422994 писал(а):
нужно подкорректировать

Да, я посылал исправления, но они не дошли почему-то. Там правые части равенств для $x, y, z$ следует умножить соответственно на $a, b, c$

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group