Утверждения об замыканиях

[Mandel]

Добрый вечер.Как можно доказать след. утверждения,где через черту обозначено замыкание:

$$ \mathop A\limits^ = = \mathop A\limits^\_ ,\mathop {A \cup B}\limits^{\_\_\_\_\_\_} = \mathop A\limits^{\_\_} \cup \mathop B\limits^{\_\_} $$

[PAV]

А чему равно замыкание замкнутого множества?

И напишите определение замыкания, чтобы было понятно, каким Вы пользуетесь.

[Mandel]

Замыкание - это самое мн-во+мн-во его предельных точек.
мн-во замкнуто тогда и только тогда когда оно совпадает со своим замыканием!

[PAV]

Тогда первое утверждение означает просто, что замыкание является замкнутым. Чтобы это показать, нужно показать, что если точка является предельной для замыкания, то она является предельной и для исходного множества, т.е. новых предельных точек не появится.

Для второго докажите, что если точка является предельной для объединения $A\cup B$, то она также предельная либо для $A$, либо для $B$ (или может для обоих сразу).