2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Из пушки по воробьям.
Сообщение09.10.2006, 19:46 
-Знаете как доказывать тождества?
-Конечно,это же просто!
-А знаете как их доказывать сложно?Эту тему я завёл для сбора доказательства простых утверждений через "сложные" пути,например 2*2=4 через логарифмы.Надеюсь она будет пользоваться популярностью.

 
 
 
 
Сообщение09.10.2006, 20:04 
Аватара пользователя
Было бы хорошо, если бы Вы для затравочки привели пару доказательств (не забыв о теге Math)

 
 
 
 
Сообщение09.10.2006, 20:05 
Аватара пользователя
Не думаю, что это сильно интересно. Усложнять можно все что угодно и практически неограниченно. А какой смысл в этой теме?

 
 
 
 Re: Из пушки по воробьям.
Сообщение09.10.2006, 21:34 
Аватара пользователя
Три А,да писал(а):
-Знаете как доказывать тождества?
-Конечно,это же просто!
-А знаете как их доказывать сложно?Эту тему я завёл для сбора доказательства простых утверждений через "сложные" пути,например 2*2=4 через логарифмы.Надеюсь она будет пользоваться популярностью.

Можно например, решить линейное уранение с одной переменной, используя
принцип сжимающих отображений. Разумеется это не самый рациональный способ,
решить уравнение. Но за то сам принцип важен.

 
 
 
 
Сообщение10.10.2006, 16:42 
А зачем вообще что-то делается?ИНТЕРЕСНО

 
 
 
 
Сообщение16.10.2006, 21:05 
Аватара пользователя
По просьбе Три А,да помещаю сюда свое док-во неравенства Бернулли для отрицательных переменных. Под неравенством Бернулли я подразумеваю следующее:
Если $x_1,\ldots,x_n\geqslant-1,$ все $x_j$ одного знака, то
$$(1+x_1)\ldots(1+x_n)\geqslant1+x_1+\ldots+x_n.$$


Во-первых,
$$\ln(1+x)=\int\limits_0^x \frac{du}{1+u}= -\int\limits_0^{-x}\frac{du}{1-u}\text{ при $x>-1$.}$$
Далее, при $0\leqslant a \leqslant a+b<1$ имеем
$$\int\limits_0^a\frac{du}{1-u}\leqslant\int\limits_0^a\frac{du}{1-b-u}=\int\limits_b^{b+a}\frac{du}{1-u}.$$
Это дает при $x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n>-1$
$$\ln(1+x_1)\ldots(1+x_n)= -\sum_{k=1}^n \int\limits_0^{-x_k}\frac{du}{1-u}\geqslant  -\sum_{k=1}^n \int\limits_{ -x_1-\ldots-x_{k-1} }^{-x_1-\ldots-x_{k-1}-x_k}\frac{du}{1-u}= -\int\limits_0^{-x_1-\ldots-x_n}\frac{du}{1-u}=\ln(1+x_1+\ldots+x_n),$$
т.е. $(1+x_1)\ldots(1+x_n)\geqslant1+x_1+\ldots+x_n$. При $-1\leqslant x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n\leqslant-1$ это очевидно.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group