Вопрос по обозначениям. ТФКП

[Андрей123]

В одной статье непонятно вот такое место:
$\omega(\zeta)=\frac{A_0 i}{\zeta-1}+\sum\limits_{k=1}^{24}\frac{E_k}{\zeta-\zeta_k}$,
$\overline\omega(\frac{1}{\zeta})=A_0 i+\sum\limits_{k=1}^{24}\overline E_k \delta_k +\frac{A_0 i}{\zeta-1}+\sum\limits_{k=1}^{24}\frac{\overline E_k \delta_k^2}{\zeta-\delta_k},\delta_k=\frac{1}{\overline \zeta_k}$. Все было бы хорошо, если бы во второй формуле в правой части вместо $\zeta$ было бы $\overline\zeta$. Это описка или просто обозначение такое?

[svv]

Мы можем пока рассмотреть $\omega(\frac 1 \zeta)$, без сопряжения? Если взять слагаемое $\frac {E_k} {\zeta - \zeta_k}$ и вместо $\zeta$ подставить $\frac 1 \zeta$, то у меня получается то, что во второй формуле (только без сопряжения), но с обратным знаком. У автора куда-то пропал минус. Вы можете это подтвердить?

[Андрей123]

Это я ошибся. Выражение для $\omega$ такое $\omega(\zeta)=\frac{A_0 i}{\zeta-1}-\sum\limits_{k=1}^{24}\frac{E_k}{\zeta-\zeta_k}$

[ewert]

Андрей123 в сообщении #422103 писал(а):

Все было бы хорошо, если бы во второй формуле в правой части вместо $\zeta$ было бы $\overline\zeta$.

То, что $\zeta$ во второй формуле без чёрточки -- это, разумеется, невозможно. Но даже если чёрточку восстановить, то ничего хорошего всё равно не выйдет: ну не может из $\zeta$ вычитаться $\delta_k$, если раньше вычиталась $\zeta_k$. Просто "по соображениям размерности" -- потому, что при этом полюса изменятся.

Единственное, что я могу предположить -- это что под $\zeta$ во второй формуле следует понимать $\delta=\frac{1}{(\overline\zeta)}$. По аналогии с $\delta_k=\frac{1}{(\overline\zeta_k)}$. Тогда всё более-менее сойдётся (с учётом изменения знаков перед суммами).

[svv]

ewert писал(а):

ну не может из $\zeta$ вычитаться $\delta_k$, если раньше вычиталась $\zeta_k$. Просто "по соображениям размерности" -- потому, что при этом полюса изменятся.

Так это уже другая $\zeta$, новая. Она равна 1 делить на старую $\zeta$. Это означает, что у функции $h(\zeta)=\omega(\frac 1 \zeta)$ полюсы равны 1 делить на старые полюсы.
И размерность новой $\zeta$ -- это размерность старой в минус первой степени.

[Андрей123]

Пришлось копать глубже. Итак есть условие на единичной окружности.
$\Phi(\zeta)+\omega(\zeta)\frac{\overline\Phi'(\zeta)}{\omega'(\zeta)}+\overline\Psi(\zeta)=0$. Тогда, пишут, что функция
$\Phi(\zeta)=-\frac{\omega(\zeta)}{\overline\omega'(\frac{1}{\zeta})}\overline\Phi'(\frac{1}{\zeta})-\overline\Psi(\frac{1}{\zeta})$ будет продолжением функции $\Phi$ за единичный круг. По-моему, там везде вместо $\frac{1}{\zeta}$ должно быть $\frac{1}{\overline\zeta}$. Или я ошибаюсь.