Доказать, что Sum[n/2^n, {n, 0, Infinity}] = 2

[scitamehtam]

Как доказать, что $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n} = 2$?

[Vince Diesel]

scitamehtam в сообщении #422096 писал(а):

Как доказать, что $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n} = 2$?

Например, найти сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty}nx^n$ и подставить $x=1/2$.

[Евгений Машеров]

Представьте $\frac n {2^n}=\frac 1 {2^n}+...+\frac 1 {2^n}$
Переставьте слагаемые так, чтобы получились геометрические прогрессии, начинающиеся с 1/2, 1/4, 1/8 и т.п., а потом просуммируйте их суммы.
Обосновать допустимость перестановки сможете?

[bundos]

http://dxdy.ru/topic42957.html

[scitamehtam]

Vince Diesel в сообщении #422097 писал(а):

scitamehtam в сообщении #422096 писал(а):

Как доказать, что $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n} = 2$?

Например, найти сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty}nx^n$ и подставить $x=1/2$.

Благодарю.