Несобственные интегралы

[swact]

Помогите найти значения параметра $a$, при которых сходятся два несобственных интеграла (оба неотрицательные)
1) $ \int_{0}^{+\infty} x^{a-101}\arctg^a(\frac {x}{x+1}) dx$
Cначала я разбил интеграл на сумму двух интегралов-слагаемых, $ \int_{0}^{1} x^{a-101}\arctg^a(\frac {x}{x+1}) dx$ + $ \int_{1}^{+\infty} x^{a-101}\arctg^a(\frac {x}{x+1}) dx$
Рассмотрим первое слагаемое: путем разложения по формуле Маклорена я привел его к эталонному виду $\frac {1}{x^{2a-101}}$, затем решил неравенство $2a-101<1$ и получил что $a>50$
Для второго слагаемого подынтегральная функция представима в виде $\frac {1}{x^{a-101}}$ т.к. $\arctg{\frac {x}{x+1}}\to (\frac {\pi}{2})^a$, откуда решил неравенство $101>1$ и получил условие $a<100$ (а в ответе $50<a<102$) Почему?
2) $ \int_{0}^{+\infty} x^{\frac {4a}{3}}\arctg(\frac {\sqrt x}{x^a+1}) dx$
Аналогично cначала я разбил интеграл на сумму двух интегралов-слагаемых, $ \int_{0}^{1} x^{\frac {4a}{3}}\arctg(\frac {\sqrt x}{x^a+1}) dx$ + $ \int_{1}^{+\infty} x^{\frac {4a}{3}}\arctg(\frac {\sqrt x}{x^a+1}) dx$
Рассмотрим первое слагаемое: путем разложения по формуле Маклорена я привел его к эталонному виду $\frac {1}{x^{\frac {-4a}{3}+\frac{1}{2}}}$, затем решил неравенство и получил что $a>\frac{-9}{8}$

Для второго слагаемого подынтегральная функция представима в виде $\frac {1}{x^{\frac {-4a}{3}}}$, откуда решил неравенство $\frac {-4a}{3}>1$ и получил условие $a<\frac {-3}{4}$ (а в ответе $\frac {-9}{2}<a<\frac {3}{4}$) Где я ошибся?

[ИСН]

После слов "привел его к эталонному виду" происходит постановка с ног на голову (что-то превратилось в $1\over\text{что-то}$). Дальше не читал.

[swact]

ИСН
Поясню например оереацию с первым слагаемым ($ \int_{0}^{1} x^{a-101}\arctg^a(\frac {x}{x+1}) dx$):
Разложил арктангенс $\arctg^a(\frac {x}{x+1}) $в нуле из первого слагаемого по формуле Маклорена, затем перемножил получившееся с $x^{a-101}$ (этот член есть в первом слагаемом, первоначально имеющего вид $ \int_{0}^{1} x^{a-101}\arctg^a(\frac {x}{x+1}) dx$), в результате получил выражение $\frac {1}{x^{101-2a}}$. Известно что интеграл от $ \int_{0}^{1} \frac {1}{x^{101-2a}}dx$ (я его назвал эталонным) сходится в случае выполнения неравенства $101-2a<1$ т.е. при $a>50$ Теперь должно быть ясно.

-- Чт мар 10, 2011 23:02:02 --

Для второго слагаемого ($ \int_{1}^{+\infty} x^{a-101}\arctg^a(\frac {x}{x+1}) dx$) подынтегральная функция представима в виде $\frac {1}{x^{101-a}}$т.к. $\arctg{\frac {x}{x+1}}\to (\frac {\pi}{2})^a$ , откуда решил неравенство, необходимое для сходимости данного интеграла: $101-a>1$ и получил условие $a<100$ (а в ответе $50<a<102$)

[ИСН]

Ясно-то всё было с самого начала, но теперь, когда Вы перестали путать 101-2a и 2a-101, стало к тому же правильно.
(Ну, арктангенс там стремится к чему-то другому, но это мелочи.)
Значит, так и есть. Значит, в книге врут.

[swact]

Хорошо, а вслучае со вторым интегралом из первого поста (решается аналогично первому) :($ \int_{0}^{+\infty} x^{\frac {4a}{3}}\arctg(\frac {\sqrt x}{x^a+1}) dx$) тоже правильный ответ у меня ? Просто очень странно, что два подряд примера в задачнике даны с ошибками в ответах

[ИСН]

Второй гораздо сложнее, потому что там разные асимптотики, в зависимости от - - -
Что касается ответа в задачнике, если Вы точно правильно переписали его, а также само задание, то подставьте, например, $a=0$ - это крайне легко - и посмотрите, что будет.

[swact]

Ой, действительно во втором интеграле ответ в задачнике $\frac {-9}{2}<a<\frac {-3}{4}$ Но левая часть неравенства в их ответе с моим все-равно не совпадает.
Насчет арктангенса: наверно при стремлении в ноль там будет что-то, чего я не учел.

-- Пт мар 11, 2011 02:42:24 --

Но как тут иначе разложить арктангенс в нуле, кроме как по Маклорену...

[ИСН]

Это потому что тут у Вас тоже с ног на голову... Ещё раз, медленно: в какой степени окажется x после разложения арктангенса?

[swact]

$\frac {1}{x^{\frac {-4a}{3}-\frac{1}{2}}}$, ведь $\frac {1}{1+x^a}=1-x^a+...$(от разложения этого члена я взял только единицу). В итоге $\frac {-4a}{3}-\frac{1}{2}<1$, т.е. $a>\frac {-9}{8}$

[ИСН]

А, вот в чём дело. Скажите, а когда применимо такое разложение для $1\over1+x^a$?

[swact]

когда $x\to 0$

-- Пт мар 11, 2011 10:38:42 --

А, понял, т.к. $a<0$, то $\frac {1}{1+x^a}\sim \frac {1}{x^a}$?

[ИСН]

Вот-вот.