вращение векторного поля

[Witt]

Есть равномерное векторное поле $B$, т.е. в котором значения вектора в каждой точке одинаково.
Поле вращается вокруг некой оси $O$, перпендикулярной направлению векторов поля $B$.
Вопрос: как выглядит поле $\frac{dB}{dt}$ ?
Будет ли оно также равномерным или вектора поля будут закручены вокруг оси $O$?

[svv]

Посмотрите на примере
$\mathbf B = \mathbf{e}_x B_0 \cos \omega t + \mathbf{e}_y B_0 \sin \omega t$

На полу Вашей комнаты лежит миллион компасов. Их стрелки синфазно вращаются. Глядя на это, Вы сможете сказать, в каком именно месте пол комнаты протыкает вертикальная ось вращения поля?

[Witt]

Понятно.
Получается, если поле $B$ - магнитное, а ось $O$ - проводник, то при таком изменении поля в проводнике не возникнет индукционный ток?
Т.е. при любых изменениях равномерного поля $B$ ток в $O$ не возникнет?

Уравнение индукции Максвелла-Фарадея:
$\nabla\times\cross E = - \frac{dB}{dt} $

[svv]

Возьмем два из уравнений Максвелла (в вакууме, без источников):

$$\mathrm{rot}\, \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t},$$

$$\mathrm{rot}\, \mathbf B = \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.$$

Первое продифференцируем по времени и учтем, что $\frac{\partial}{\partial t} \mathrm{rot}=\mathrm{rot}\, \frac{\partial}{\partial t}$:

$$\mathrm{rot}\, \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = -\frac{\partial^2 \mathbf B}{\partial t^2}.$$

Теперь подставим $\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}$ из второго:

$$\mathrm{rot}\, \mathrm{rot}\, \mathbf B = -\frac{\partial^2 \mathbf B}{\partial t^2}.$$

Получили уравнение, в которое входит только $\mathbf B$.
Учитывая, что $\mathrm{rot}\, \mathrm{rot}\, \mathbf B = \mathrm{grad}\, \mathrm{div}\, \mathbf B - \Delta \mathbf B$, а $\mathrm{div}\, \mathbf B = 0$, уравнение для $\mathbf B$ можно переписать также в виде

$$\Delta \, \mathbf B = \frac{\partial^2 \mathbf B}{\partial t^2}.$$

Итак, $\mathbf B$ в вакууме в областях без источников удовлетворяет волновому уравнению. (Вам это хорошо известно, не так ли?)
Поскольку Ваше $\mathbf B$ не зависит от пространственных координат, его пространственные частные производные равны нулю. Поэтому также $\mathrm{rot}\, \mathrm{rot}\, \mathbf B = 0$, $\Delta \, \mathbf B = 0$. Следовательно,

$$\frac{\partial^2 \mathbf B}{\partial t^2}=0.$$

Но вращающееся поле $\mathbf B$, которое Вы предложили, точно не такое -- его вторая производная по времени нулю не равна.
Вывод: поле $\mathbf B$ из Вашего примера не может быть реальным магнитным полем, каково бы ни было электрическое поле $\mathbf E$.

Думаю, что Вы удивлены. Хотя, как видите, каждый шаг был элементарным.

[svv]

Witt писал(а):

Вопрос: как выглядит поле $\frac{dB}{dt}$?

$$\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = \mathbf{\omega}\times \mathbf B,$$

где $\mathbf{\omega}$ -- вектор угловой скорости вращения.