Можно ли накрыть квадрат 6 × 6 тремя квадратами 5 × 5?

[Руст]

Похоже, что $a(n^2+k)=\frac 1n$ при $k=0,1,...,2n-1$, а $\frac{1}{n+1}<a(n^2+2n)<\frac 1n.$ Фактический остается вычислить только их. Но это связано со спецификой квадрата. Для равнобедренных треугольников уже другое поведение.
Предлагаю вычислить $a(4)$ для куба. Для кубов похоже
$a(n^3+k)=\frac 1n, k=0,1,...,3n^2-1$ а при $3n^2\le k\le 3n^2+3n$ выполняется $\frac{1}{n+1}<a(n^2+k)<\frac 1n$ и не все они разные.

[Sonic86]

Если $d$ - размерность куба, последовательность именуем $a_d(n)$, то при $d>2$ $a_d(d+1) = 1$, потому что только при $d=2$ можно прямоугольник $1 \times (d+1)$ всунуть в квадрат $d \times d$, а при $d>2$ прямоугольный гиперпараллелограмм (или как это называется? ) $1 \times (d+1) \times ... \times (d+1)$ всунуть в гиперкуб $(d+1 - \epsilon) \times ... \times (d+1 - \epsilon)$ уже не получится, поскольку одна из сторон $1 \times (d+1) \times ... \times (d+1)$ должна быть равна стороне гиперкуба.
Мне так кажется

[Руст]

Да, для кубов похоже действительно так.
Однако, для правильных пирамид (симплексов) и шаров $a_d(d+1)<1.$
Соответственно представляет интерес вычисление минимального радиуса круга $a_к(3)$, которыми можно накрыть единичный круг, минимальную сторону правильного треугольника $a_т(3)$ и аналогично для шара $a_ш(4)$ и правильной пирамиды $a_п(4)$.