Кольца

Maddoggg · 13/02/11 35

Тут задачи из "Кванта"(1974 год №2) про кольца решал. Не могли бы вы проверить решения?
№1
Докажите, что множество полиномов с $\mathbb R$ коэффициентами с обычным сложением и умножением является кольцом без делителей нуля. Каково множество обратимых элементов этого кольца?

Решение:
Ну отмечаю я многочлены как $P_1, P_2, P_3$ и т.д.
Сложение и умножение обычные поэтому:
1) $a+b=b+a$
2) $(a+b)+c=a+(b+c)$
3) $0$ -существует (на множестве $\mathbb R$ )
4)Существуют так же противоположные элементы (на $\mathbb R$ )
5)Ну и дистрибутивный закон тоже выполняется (опять же на $\mathbb R$ )

Последний вопрос не понял. Что от меня хотят?

Sonic86 · 08/04/08 8564

Вы знаете, что такое "делитель нуля" и "обратимый элемент"? Если да, то используйте для доказательства степень многочлена, например. Или в чем проблемы?

Maddoggg · 13/02/11 35

Ой я тут про делитель нуля не написал... Тогда $ab=0$ на $\mathbb R$ тогда когда $a=0$ или $b=0$ . Поэтому кольцо без делителей нуля.

-- Ср мар 09, 2011 00:24:45 --

Т.е. ответ на последний вопрос $P^{-1}$ ? (Я так понял использовать степень многочлена)

Sonic86 · 08/04/08 8564

Ну Вы выпишите определение обратимого элемента, подставьте в него многочлены и обратите внимание на степень многочлена.

Maddoggg · 13/02/11 35

Вот еще задача...
№2
Составьте таблицы сложения и умножения в $Z_5$ и $Z_7$ и докажите, что в этих кольцах не только нет делителей нуля, но и что каждый ненулевой элемент в них необратим.
Примечание: $Z_n$ -это кольцо составленное из остатков деления на число $n$
Я составил таблицу умножения. Отсюда видно, что например $2\cdot2=4$ . У меня для $n=7$ обратимы только $1,4$ и $6$ . Т.е. не все элементы обратимы.