Трегольники

[Sasha2]

Интересно, а что представляет собой множество точек, образованных всеми трегольниками данного периметра, если их проводить так, чтобы у них у всех была одна и та же точка пересечения их медиан.
Вот хотелось бы узнать сперва, будет ли это множество отличаться от множества точек, если эти же треугольники проводить так, чтобы общей у них была точка пересеения их биссектрис.

[MrDindows]

Имхо.
Для множества всех вершин треугольника.
Для точки пересечения медиан, у нас получится кольцо, между двумя окружностями радиуса
$\frac{P}{4}$ и $\frac{P}{3\sqrt3}$
Для точки пересечения биссектрис получим круг радиуса $\frac{P}{2}$

[gris]

По-моему, в каждом случае одну из вершин можно подогнать как угодно близко к точке пересечения. Вот с высотами наверное не получиться. Сама точка, разумеется не входит в множество.
Пардон, всеми точками треугольника или только вершинами?
Если всеми точками — то откуда кольцо?

[ИСН]

"C высотами не получится" - сказал человек с прямоугольным треугольником на аватаре. С высотами! Ха!

[ewert]

gris в сообщении #420710 писал(а):

Пардон, всеми точками треугольника или только вершинами?

Очевидно, не имеет значения (есть разница только для случая, когда внутренние точки учитываются и когда нет)

Для высот -- будет вся плоскость. Во всех трёх вариантах формулировки.

[gris]

Моя пошутила.
Нет, всё. На сегодня достаточно. А то забанют напоследочек за невежество.
Но вот никак не могу не постануть чего-нибудь.
Представил треугольник в виде растянутой верёвочки-колечка.
Для инвариантности периметра.
Так я не понял — что у нас треугольник: три точки, три отрезка или плоская фигура с внутренностью?

[MrDindows]

gris в сообщении #420710 писал(а):

По-моему, в каждом случае одну из вершин можно подогнать как угодно близко к точке пересечения. Вот с высотами наверное не получиться. Сама точка, разумеется не входит в множество.
Пардон, всеми точками треугольника или только вершинами?
Если всеми точками — то откуда кольцо?

И как же мы будем приближать?
помоему ближе чем на $\frac{P}{8}$ ( В первом посте ошибся), мы не сможем приблизить...
п.с., думаю, что автор имел ввиду вершины)

[gris]

Ну у Вас же прозвучало $P/4$. Вот и возьмём равнобедренный треугольник с чуть большей боковой стороной.

[MrDindows]

gris в сообщении #420740 писал(а):

Ну у Вас же прозвучало $P/4$. Вот и возьмём равнобедренный треугольник с чуть меньшей боковой стороной.

Я опять оговорился( и ошибся заодно)
По-моему отдалить больше чем на 3p/4 нельзя ( это будет в равнобедренном, в котором основание стремится к нулю) а приблизить нельзя больше чем на $\frac{P}{3 \sqrt 3}$ - в равностороннем

[Sasha2]

Ну я просто еще немного ошибся с формулировкой.
Хотелось бы облагородить эту задачу, исключив всю триваиальщину.
Например, введя дополнительное ограничение, что одна из сторон каждого из этих треугольников должна быть параллельна данной прямой.
Тогда, наверно, уже не просто круг или кольцо.

[gris]

Если мы рассмотрим треугольник $\{P/4+\delta;P/4+\delta;P/2-2\delta\}$, то точка пересечения медиан и вершина тупого угла лежат на расстоянии $\dfrac23\cdot \sqrt{(P/4+\delta)^2-(P/4-\delta)^2}=\dfrac23\cdot \sqrt{P\delta}$, что при $\delta\leqslant \dfrac{9\varepsilon^2}{4P}$ не превышает заданного $\varepsilon$.

[MrDindows]

gris в сообщении #420748 писал(а):

Если мы рассмотрим треугольник $\{P/4+\delta;P/4+\delta;P/2-2\delta\}$, то точка пересечения медиан и вершина тупого угла лежат на расстоянии $\dfrac23\cdot \sqrt{(P/4+\delta)^2-(P/4-\delta)^2}=\dfrac23\cdot \sqrt{P\delta}$, что при $\delta\leqslant \dfrac{9\varepsilon^2}{4P}$ не превышает заданного $\varepsilon$.

Блин, я туплю конкретно)

[ewert]

MrDindows в сообщении #420738 писал(а):

Для точки пересечения медиан, у нас получится кольцо,

Ну какое же кольцо, если в случае очень тупого равнобедренного треугольника вершина (в которой тупой угол) может сколь угодно приближаться к точке пересечения медиан?...

Так что всё равно получится круг с выколотым центром. Правда, радиусом не в полупериметр, а в треть периметра.

[gris]

Внутренность круга $0<r<P\3$ с выколотым центром. Это для медиан.
А не считается ли такой круг с выколотым центром кольцом? Может быть, вырожденным. Ведь с топологической точки зрения... Молчу, молчу.

[ewert]

gris в сообщении #420805 писал(а):

Внутренность круга $0<r<P\3$ с выколотым центром. Это для медиан.

Если $P=\text{треть периметра}$ (для медиан), то соглашусь. А иначе как-то неохота.