критерий выпуклости множества

[donny]

Здравствуйте. Что то меня сомнения одолели.

Рассмотрим замкнутое подмножество $A \subset \mathbb{R}^n$, тогда
$A+A=2A$ тогда и только тогда, когда $A$ -- выпуклое.

Где плюсики и умножения берутся в смысле Минковского.

Правда же, что это так?

Доказывается вроде не сложно. Основная идея в том, что множество серединок всюду плотно на отрезке соединяющем произвольные точки $A$. Тогда в окрестности любой точки отрезка, найдется сколь угодно много серединок, значит эта точка предельная для серединок, и в силу замкнутости принадлежит множеству А. Таким образом весь отрезок будет принадлежать $A$. $A$ -- выпуклое.

Обратно совсем банально.

Вопрос, мой в том, что если у в условии положить $A$ -- открытым. То критерий не верен, строится контрпример. Так же? или я тотально не прав.

[мат-ламер]

А если рассмотреть какое-нибудь выпуклое множество на плоскости и оставить в нём точки с обоими рациональными координатами (остальные точки выбросить)?

-- Вт мар 08, 2011 14:58:24 --

Извиняюсь, написал ерунду. Пример показывает, что условие замкнутости существенно, и можно построить контрпример с незамкнутым множеством. Но по условию требовалось открытое множество, о чём я забыл.

-- Вт мар 08, 2011 15:12:03 --

Для открытых множеств, по-видимому, оба критерия выпуклости эквивалентны. Из того, что $A+A=2A$ следует, что наряду с двумя точками множество содержит и середину отрезка их соединяющего. Далее этот отрезок делим последовательно рекуррентно пополам. Получим на отрезке счётную всюду плотную систему точек, принадлежащих отрезку. Далее каждую точку (в силу открытости) можно окружить окрестностью с точками, прин. множеству. В силу компактности отрезка из этой системы можно выделить конечную подсистему. Объединение этой системы содержит отрезок. Таким образом наряду с двумя точками множеству принадлежит и отрезок их соединяющий. Т.о. множество выпукло.

[ewert]

donny в сообщении #420631 писал(а):

Вопрос, мой в том, что если у в условии положить $A$ -- открытым. То критерий не верен, строится контрпример. Так же? или я тотально не прав.

Если множество открыто, то каждые две его точки -- внутренние. Поэтому и все точки соединяющего их отрезка тоже принадлежат этому множеству (для каждой точки отрезка можно подобрать достаточно хорошее двоичное приближение, а потом дотянуться до нужной точки, изменив длину отрезка небольшим смещением одного из концов). Так что техника доказательства немножко иная, но идея та же самая.

А вот если множество ни открыто, ни замкнуто, то утверждение уже неверно. Даже если его замыкание совпадает с замыканием его внутренности (при $n>1$, конечно).

-- Вт мар 08, 2011 15:34:11 --

мат-ламер в сообщении #420658 писал(а):

В силу компактности отрезка из этой системы можно выделить конечную подсистему.

Не понял. Вы ж имеете право окружать окрестностями только точки из выделенного Вами плотного множества. И при чём тут компактность всего отрезка?

[мат-ламер]

Написал ерунду. Компактность тут не причём. Пытался доказать лемму (которая не верна) - Если мы каждую двочно-рациональную точку единичного отрезка окружим окрестностью, то вся эта система окрестностей покрывает отрезок. Тем не менее, доказательсьво можно исправить. Пусть множество $A$ открыто. Возьмём отрезок ему принадлежащий. Крайние точки отрезка принадлежат множеству $A$ вместе с круговой окрестностью некоторого радиуса $R$. Тогда середина отрезка и все остальные двоично-рациональные точки отрезка принадлежат множеству $A$ вместе с окрестностью того же радиуса. Легко видеть, что существует конечная система окрестностей, покрывающая отрезок. Следовательно, и весь отрезок также принадлежит множеству $A$.

[donny]

ewert, да, конечно, вы правы. спасибо. что то я не доглядел этого.