Помогите решить задачу методом Гаусса

[TEMbI4_88]

Здравствуйте, очень прошу помочь с решением задачи методом Гаусса.
x+y+z=2
2x-y-6z=-1
3x-2y=8
Надо решить двумя способами: Крамера и Гаусса.
Методом Крамера у меня получилось: x=2, y=-1, z=1.
Методом же Гаусса никак не могу получить ответ, исписал уж пол тетради...

[myra_panama]

В чем заключается метод Гаусса??

[TEMbI4_88]

Надо составить расширенную матрицу системы, тут она будет равна $ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & |2 \\ 2 & -1 & -6 & |-1 \\ 3 & -2 & 0 & |8 \end{array} \right)$
и надо под главной диагональю, это нижний левый угол, где 2, 3, -2, получить ноли, путем умножения, деления, сложения, вычитания одной строки на другую. Затем выполнить обратное преобразование в систему уравнений, и должно получиться так, что z будет известен, а x,y можно будет легко найти. Как то так, извиняюсь за корявое изложение мыслей)

[myra_panama]

$\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\2&{-1}&{-6}\\3&{-2}&0\\ \end{array}\right) $=$\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\0&3&8\\0&5&3\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\0&3&8\\0&{0}&{31}\\ \end{array}\right)$
Это только намек...

[maxmatem]

myra_panama
Ничего себе намёк.......

[myra_panama]

$\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1|2\\2&{-1}&{-6}|-1\\3&{-2}&0|8\\ \end{array}\right) $=$\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1|2\\0&3&8|5\\0&0&31|31\\ \end{array}\right) $

-- Пн мар 07, 2011 12:42:25 --

maxmatem в сообщении #420214 писал(а):

myra_panama
Ничего себе намёк.......

а що не намек ли ... или ...

[TEMbI4_88]

Спасибо огромное! А не могли бы вы ещё написать какие действия выполняли чтобы получить данный ответ?
У меня как то получалось что 31z=30, вот к чему приводит невнимательность... Жаль не могу найти тот лист, где решал данный пример.

[myra_panama]

TEMbI4_88 в сообщении #420219 писал(а):

А не могли бы вы ещё написать какие действия выполняли чтобы получить данный ответ?

первую строку умножем на 2 и вычитаем из второго, и умножем на 3 и вычитаем из третього... и так далее...

[spaits]

TEMbI4_88 в сообщении #420204 писал(а):

Здравствуйте, очень прошу помочь с решением задачи методом Гаусса.
x+y+z=2
2x-y-6z=-1
3x-2y=8

Можно обойтись и без матриц (конечно, с матрицами решение короче).
В первом уравнении пусть останутся все переменные: $x$,$y$,$z$, а во втором и третьем $z$ не должно быть. В третьем его и так нет, надо избавиться от $z$ во втором уравнении. Для этого умножаем первое уравнение на $6$ и прибавляем второе, при этом $z$ в уравнении уже не будет:

$$(6x+6y)+(2x-y)=2\cdot6-1$$

.
Это уравнение будет вместо второго: $8x+5y=11$.
А третье берём без изменений, так как оно не содержит $z$: $3x-2y=8$.
Из последнего уравнения исключаем $y$:

$$(8x+5y)\cdot2+(3x-2y)\cdot5=11\cdot2+8\cdot5.$$

$$16x+15x=22+40;$$

$$x=2.$$

Найти $y$ теперь легко из второго уравнения, а потом $z$ из первого.
Если освоите преобразования матриц, то запись действий будет намного короче. Но действия те же!

[ewert]

TEMbI4_88 в сообщении #420211 писал(а):

$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & |2 \\ 2 & -1 & -6 & |-1 \\ 3 & -2 & 0 & |8 \end{array} \right)$

Чёрточки ставятся так:
$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & \vline & 2 \\ 2 & -1 & -6 & \vline & -1 \\ 3 & -2 & 0 & \vline & 8 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & \vline & 2 \\ 
2 & -1 & -6 & \vline & -1 \\ 
3 & -2 & 0 & \vline & 8 \end{array} \right)$

(выравнивать следует справа)

[TEMbI4_88]

spaits спасибо, для проверки отлично подойдет мне, но нам надо чтоб именно в матричном виде решено было.
ewert спасибо за чёрточки, не мог найти как нормально написать их =)

[myra_panama]

spaits
очень много опечатка сделали...

Цитата:

Из последнего уравнения исключаем $z$:

$$(8x+5y)\cdot2+(3x-2y)\cdot5=11\cdot2+8\cdot5.$$

исключаем чего y или z?

Цитата:

$$16x+15y=22+40;$$

y или x?

-- Пн мар 07, 2011 13:10:50 --

ewert спасибо за черточки

[spaits]

TEMbI4_88 в сообщении #420229 писал(а):

spaits спасибо, для проверки отлично подойдет мне, но нам надо чтоб именно в матричном виде решено было.

Для проверки лучше всего использовать исходные уравнения, а моё решение, возможно, Вам пригодится, чтобы лучше понять, что означают применяемые Вами преобразования матриц.

-- Пн мар 07, 2011 11:38:25 --

myra_panama в сообщении #420230 писал(а):

spaits
очень много опечатка сделали...

myra_panama, спасибо, я исправила свои опечатки.