Проверить хитрые тождественные преобразования

[finanzmaster]

Разбирал сегодня модель HJM - c самой моделью более-менее все понятно, но встречается там по ходу вывода вот такой дифференциал от интеграла.

Поскольку все книжки по финансовой математике (в той или иной степени) грешат зияющими провалами в промежуточных вычислениях, то пришлось изрядно повозиться; собственно - показать нужно было, что то, что в начале, равно тому, что в конце.
Вроде, получилось - но прошу проверить промежуточные преобразования (на такие "мелочи" как предельный переход под интегралом можно не обращать внимания, функция f(t,s) предполагается "достаточно хорошей").

% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacq % GHciITaeaacaWGKbGaamiDaaaadaWadaqaaiabgkHiTmaapehabaGa % amOzaiaacIcacaWG0bGaaiilaiaadohacaGGPaGaamizaiaadohaaS % qaaiaadshaaeaacaWGubaaniabgUIiYdaakiaawUfacaGLDbaacqGH % 9aqpdaWcaaqaaiabgkGi2cqaaiaadsgacaWG0baaamaadmaabaWaa8 % qCaeaacaWGMbGaaiikaiaadshacaGGSaGaam4CaiaacMcacaWGKbGa % am4CaaWcbaGaamivaaqaaiaadshaa0Gaey4kIipaaOGaay5waiaaw2 % faaiabg2da9maaxababaGaciiBaiaacMgacaGGTbaaleaacaWG4bGa % eyOKH4QaaGimaaqabaGcdaWadaqaamaapehabaGaamOzaiaacIcaca % WG0bGaey4kaSIaamiEaiaacYcacaWGZbGaaiykaiaadsgacaWGZbaa % leaacaWGubaabaGaamiDaiabgUcaRiaadIhaa0Gaey4kIipakiabgk % HiTmaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG0bGaaiilaiaadohacaGGPaGa % amizaiaadohaaSqaaiaadsfaaeaacaWG0baaniabgUIiYdaakiaawU % facaGLDbaacqGH9aqpaaa!7E00! $$ {\partial \over {dt}}\left[ { - \int\limits_t^T {f(t,s)ds} } \right] = {\partial \over {dt}}\left[ {\int\limits_T^t {f(t,s)ds} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\int\limits_T^{t + x} {f(t + x,s)ds} - \int\limits_T^t {f(t,s)ds} } \right] = $$

% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyypa0ZaaC % beaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaadIhacqGHsgIRcaaIWaaa % beaakmaalaaabaWaamWaaeaadaqadaqaamaapehabaGaamOzaiaacI % cacaWG0bGaey4kaSIaamiEaiaacYcacaWGZbGaaiykaiaadsgacaWG % ZbaaleaacaWGubaabaGaamiDaiabgUcaRiaadIhaa0Gaey4kIipaki % abgkHiTmaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG0bGaey4kaSIaamiEaiaa % cYcacaWGZbGaaiykaiaadsgacaWGZbaaleaacaWGubaabaGaamiDaa % qdcqGHRiI8aaGccaGLOaGaayzkaaGaey4kaSYaaeWaaeaadaWdXbqa % aiaadAgacaGGOaGaamiDaiabgUcaRiaadIhacaGGSaGaam4CaiaacM % cacaWGKbGaam4CaaWcbaGaamivaaqaaiaadshaa0Gaey4kIipakiab % gkHiTmaapehabaGaamOzaiaacIcacaWG0bGaaiilaiaadohacaGGPa % GaamizaiaadohaaSqaaiaadsfaaeaacaWG0baaniabgUIiYdaakiaa % wIcacaGLPaaaaiaawUfacaGLDbaaaeaacaWG4baaaiabg2da9aaa!7B25! $$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left[ {\left( {\int\limits_T^{t + x} {f(t + x,s)ds} - \int\limits_T^t {f(t + x,s)ds} } \right) + \left( {\int\limits_T^t {f(t + x,s)ds} - \int\limits_T^t {f(t,s)ds} } \right)} \right]} \over x} = $$

% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyypa0ZaaC % beaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaadIhacqGHsgIRcaaIWaaa % beaakiaadAgacaGGOaGaamiDaiabgUcaRiaadIhacaGGSaGaamiDai % aacMcacqGHRaWkdaWdXbqaamaaxababaGaciiBaiaacMgacaGGTbaa % leaacaWG4bGaeyOKH4QaaGimaaqabaGcdaWcaaqaamaadmaabaGaam % OzaiaacIcacaWG0bGaey4kaSIaamiEaiaacYcacaWGZbGaaiykaiaa % dsgacaWGZbGaeyOeI0IaamOzaiaacIcacaWG0bGaaiilaiaadohaca % GGPaGaamizaiaadohaaiaawUfacaGLDbaaaeaacaWG4baaaaWcbaGa % amivaaqaaiaadshaa0Gaey4kIipakiabg2da9iaadAgacaGGOaGaam % iDaiaacYcacaWG0bGaaiykaiabgUcaRmaapehabaWaaSaaaeaacqGH % ciITaeaacaWGKbGaamiDaaaadaWadaqaaiaadAgacaGGOaGaamiDai % aacYcacaWGZbGaaiykaiaadsgacaWGZbaacaGLBbGaayzxaaaaleaa % caWGubaabaGaamiDaaqdcqGHRiI8aOGaeyypa0daaa!7BCD! $$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(t + x,t) + \int\limits_T^t {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left[ {f(t + x,s)ds - f(t,s)ds} \right]} \over x}} = f(t,t) + \int\limits_T^t {{\partial \over {dt}}\left[ {f(t,s)ds} \right]} = $$

% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyypa0Jaam % OzaiaacIcacaWG0bGaaiilaiaadshacaGGPaGaeyOeI0Yaa8qCaeaa % daWcaaqaaiabgkGi2cqaaiaadsgacaWG0baaamaadmaabaGaamOzai % aacIcacaWG0bGaaiilaiaadohacaGGPaGaamizaiaadohaaiaawUfa % caGLDbaaaSqaaiaadshaaeaacaWGubaaniabgUIiYdaaaa!4D11! $$ = f(t,t) - \int\limits_t^T {{\partial \over {dt}}\left[ {f(t,s)ds} \right]} $$


Кстати, к такому способу я пришел не сразу, сначала пытался (безуспешно) сделать что-то вроде:
% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacq % GHciITaeaacaWGKbGaamiDaaaadaWadaqaaiabgkHiTmaapehabaGa % amOzaiaacIcacaWG0bGaaiilaiaadohacaGGPaGaamizaiaadohaaS % qaaiaadshaaeaacaWGubaaniabgUIiYdaakiaawUfacaGLDbaacqGH % 9aqpdaWcaaqaaiabgkGi2cqaaiaadsgacaWG0baaamaadmaabaGaam % OraiaacIcacaWG0bGaaiilaiaadshacaGGPaGaeyOeI0IaamOraiaa % cIcacaWG0bGaaiilaiaadsfacaGGPaaacaGLBbGaayzxaaGaeyypa0 % JaaiOlaiaac6cacaGGUaaaaa!5AF4! $$ {\partial \over {dt}}\left[ { - \int\limits_t^T {f(t,s)ds} } \right] = {\partial \over {dt}}\left[ {F(t,t) - F(t,T)} \right] = ... $$
(где F(t,T) - результат интегрирования f(t,s)). Можно ли этим способом тоже получить результат?

[Brukvalub]

Все правильно, но проще было сразу использовать готовую формулу для дифференцирования собственного интеграла с параметром, которая имеется в каждом достаточно продвинутом учебнике математического аналиа ( см. http://lib.mexmat.ru/books/35, http://lib.mexmat.ru/books/11843, http://lib.mexmat.ru/books/11487,http:/ ... ru/books/2, http://lib.mexmat.ru/books/9937 и т.д.)