Наглядное представление о группе

[Ashley]

Где-то на этом форуме когда-то видел что-то в таком духе, что некий форумчанин представляет себе конечные группы как конструкции из бусин на нитках. По-моему, никто не возражал, и даже, вроде бы называли очевидным.
Сейчас стало интересно, это как?

[Padawan]

Коммутативные поди?

[Nilenbert]

Вы не такое имеете в виду: Cayley graphs and the geometry of groups ?

[Ashley]

Налистался, нашел
http://dxdy.ru/topic31183.html

Цитата:

Конечные группы — все возможные наборы колец из N бусинок.

Поднимать ту тему уже нет смысла

Да, по ходу, неточно, и действительно тривиально

Цитата:

Вы не такое имеете в виду: Cayley graphs and the geometry of groups ?

Спасибо

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Группы, кольца и поля - это, дети, траляля.
Только злостный онанизм укрепляет организм.

Я себе всё время представлял группу в виде такого сжатого кулака с переплетёнными пальцами. Они там в некое подобие фиги сложились и шевелятся...

Это потому, что группы часто бывают очень сложно устроенными. Крайне хитрый объект!

[Sonic86]

Я всегда представлял себе $\mathbb{Z}_n$ в виде круга, в котором есть концентрический подкруг, и получающееся колечко делится на $n$ частей. Ну это очевидно все - группа действует на правильном многоугольнике. И смежные классы всегда так представлял (только там куски колечка неодинаковые).
А вот $\mathbb{S}_n$ представить не могу

-- Вс мар 06, 2011 12:15:26 --

(Оффтоп)

Профессор Снэйп писал(а):

Они там в некое подобие фиги сложились и шевелятся...

Ага, и приговаривают: "Разрешить проблему изоморфизма двух представлений групп хотите? А вот фиг там!"

[caxap]

Sonic86 в сообщении #419819 писал(а):

А вот $\mathbb{S}_n$ представить не могу

Я представляю их себе как пятнашки. Аналогия не совсем полная, но появилась сама собой при решении задачки из Винберга о том, что $S_n$ порождается смежными транспозициями. Сразу вспомнились пятнашки: сначала переносим единицу на первое место путём смежных перестановок, затем двойку и т. д. [Более удачная аналогия была бы с "линейными" пятнашками, но таких не бывает.]

[mclaudt]

С нитками удобно потому, что, например, если задать несколько стартовых перестановок, разложеных по циклам в виде тех самых колец, то можно примерно прикинуть все остальные перестановки соответствующей группы. Хотя действительно из этого извлечь чего-то фееричного не удалось.

[Munin]

$\mathbf{SO}(n)$ и $\mathbf{SU}(n)$ представляю себе как поверхность мячика, где элементы группы есть дуги со стрелочками. У меня есть небольшое оправдание, что $\mathbf{SU}(2)$ есть геометрически $S^3$ - когда очень надо, представляю себе и $S^3$ непосредственно (изнутри).

[arseniiv]

mclaudt в сообщении #297664 писал(а):

Конечные группы — все возможные наборы колец из N бусинок.

Думал ночью и никак не додумался. Объясните кто-нибудь, пожалуйста!

[caxap]

arseniiv
Возможно имеется в виду представление конечной группы в виде графа, если разбить эту группу на циклические части. Например, циклическую группу $\mathbb Z_n$ можно представить как колечко из $n$ бусинок, группу диэдра $D_n$ -- как колечко $\mathbb Z_n$ на $n$ ножках (= циклы из двух элементов) и т. п.

[arseniiv]

А, понятно! Я уже подумал, что что-то топологическое, разные пересечения колец, и никак не мог приладить это к двум группам порядка 4.

-- Пт мар 25, 2011 19:29:51 --

(До последнего думал, что граф Кэли всё-таки ни при чём, а оказался он, даже ведь на него ссылка была!)

[mclaudt]

Честно говоря, я имел в виду не граф Кэли, где элементами-"бусинками" являются элементы группы, а именно набор "бусинок", пронизанный кольцами нитей разного цвета (т.е. каждая перестановка разложена по циклам (не путать с циклами в группе!)), где каждый цвет отвечает тому или иному элементу группы. Т.е. речь о представлении элемента группы перестановкой, теорема того же Кэли.

[arseniiv]

О, похоже, нашёл! http://mathworld.wolfram.com/CycleGraph.html, там где-то в середине про граф циклов группы (или он по-другому называется по-русски?).

[Ashley]

Цитата:

Честно говоря, я имел в виду не граф Кэли, где элементами-"бусинками" являются элементы группы, а именно набор "бусинок", пронизанный кольцами нитей разного цвета (т.е. каждая перестановка разложена по циклам (не путать с циклами в группе!)), где каждый цвет отвечает тому или иному элементу группы. Т.е. речь о представлении элемента группы перестановкой, теорема того же Кэли.

О! Блин, точно! Спасибо!