Существует ли такая функция?

[IE]

Пусть $f: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, заданная следующим образом

$$f(x)= \begin{cases} 100,& x\in Z,\\ 10,& x\in C\setminus Z,\\ 1 \text{ иначе} \end{cases} $$

где $C$ --- множество Кантора, а $Z\subset C$ --- не измеримое по Борелю, но измеримое по Лебегу множество. (Оно есть, так как мощность подмножеств множества Кантора $2^c$, а мощность борелевской сигма-алгебры континуум.) Единственное, что пока заставляет меня усомниться в существовании такой функции, это то, что нас попросили доказать, что ее не существует. С другой стороны, проблема может быть в том, что множество точек разрыва функции обязано быть множеством типа $F_\sigma$.

[Padawan]

Как она может не существовать, если вот она, выписана?

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #419577 писал(а):

Как она может не существовать, если вот она, выписана?

Ага, тоже фигею.

Функция может не существовать лишь в том случае, если множества $Z$ с нужными свойствами не существует. Хотя оно обязано существовать! Ну или если ZFC противоречива (она в этом случае, конечно, существует, но утверждение о том, что она не существует, тоже доказуемо) :)

Может, нужно показать, что такая функция не существует, если от неё дополнительно потребовать каких-то свойств? Или, на крайний случай, показать, что её существование невозможно доказать в ZF?

[IE]

Остается вопрос интегрируема ли она по Риману? Она ограничена, а множество точек разрыва имеет нулевую меру Лебега. Собственно дело в том, что я настаивал на том, что в определение плотности вероятности надо включать требование измеримости функции, в качестве примера проблем возникающих в противном случае привел указанную выше функцию, но не нашел понимания.

[Someone]

IE в сообщении #419554 писал(а):

Единственное, что пока заставляет меня усомниться в существовании такой функции, это то, что нас попросили доказать, что ее не существует.

Какой "такой"? Вы ведь не сформулировали условия, которым должна удовлетворять функция, а просто определили какую-то функцию.

[IE]

Я просто воспроизвожу тот абсурд, который происходил на семинаре. Сам я считаю, что функция задана вполне корректно, более того, я считаю, что она интегрируема по Риману, но не является плотностью ни для одной вероятностной меры на $([0,1],\mathscr{B}([0,1]),\lambda)$.