Интересное неравенство

[Bulgakov_Arthur]

Для положительных чисел $ a, b, c $ доказать:

$ \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}} + \sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}} + \sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}} \le \frac{3}{2} $

[arqady]

Bulgakov_Arthur в сообщении #419349 писал(а):

Для положительных чисел $ a, b, c $ доказать:

$ \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}} + \sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}} + \sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}} \le \frac{3}{2} $

Коши-Шварц даёт:
$\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\right)^2\leq\sum\limits_{cyc}ab\sum\limits_{cyc}\frac{1}{(a+c)(b+c)}.$
Поэтому остаётся доказать, что
$8(ab+ac+bc)(a+b+c)\leq9(a+b)(a+c)(b+c)$, которое эквивалентно
$\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2\geq0$.

[Bulgakov_Arthur]

А я пытался использовать однородность, "штурмовать" (сближаем a и b с сохранением суммы или произведения)...

[arqady]

Bulgakov_Arthur, вот ещё путь, приводящий к той же оценке:

$\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}} \le \frac{3}{2}\Leftrightarrow2\sum\limits_{cyc}\sqrt{ab(a+b)}\leq3\sqrt{(a+b)(a+c)(b+c)}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow8\sum\limits_{cyc}a\sqrt{bc(a+b)(a+c)}\leq\sum\limits_{cyc}(5a^2b+5a^2c+6abc)$.
Но $8\sum\limits_{cyc}a\sqrt{bc(a+b)(a+c)}\leq4\sum\limits_{cyc}a\left(b(a+c)+c(a+b)\right)$, что приводит к той же оценке.

[arqady]

Ещё вот такое неравенство верно:
$ \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}} + \sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}} + \sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}} \ge1+ \frac{4abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} $