Неопределенный интеграл.

[integral2009]

$$\int \dfrac{dx}{x\sqrt{4x^2-x+1}}$

Предложите, пожалуйста, замену. Сам я делал так

$$\int \dfrac{dx}{x\sqrt{4x^2-x+1}}=\int \dfrac{dx}{x^2\sqrt{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}=[\dfrac{1}{x}=t]=-\int \dfrac{dt}{\sqrt{4-t+t^2}}=-\int \dfrac{d(t-\frac{1}{2})}{\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{15}}{2})^2}}}=$$

$$=-\ln |t-\frac{1}{2}+\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{15}4}|=-\ln |4x^2-x+\frac{1}{2}+\sqrt{4x^2-x+1}|=\text{ ответ не сходится(}$$

[ИСН]

Производную брать умеете? Вот через неё и проверьте.
Интегралы такого рода часто "не сходятся" с ответом, это известный баг.

[integral2009]

ИСН в сообщении #419271 писал(а):

Производную брать умеете? Вот через неё и проверьте.
Интегралы такого рода часто "не сходятся" с ответом, это известный баг.

Спасибо! Производную к виду $\dfrac{1}{x\sqrt{4x^2-x+1}}$ привести не удалось(( Может здесь есть замена попроще?)

[ewert]

integral2009 в сообщении #419270 писал(а):

$$=-\ln |t-\frac{1}{2}+\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{15}4}|=-\ln |4x^2-x+\frac{1}{2}+\sqrt{4x^2-x+1}|=$$

Подождите-подождите. Это же просто "по размерности" явно не сходится. Во-первых, как это к корню из икса в квадрате прибавляется икс в квадрате, когда к корню из тэ в квадрате прибавлялся просто тэ. Во-вторых, как это вдруг так лихо отрицательные степени икса превратились в положительные.

[integral2009]

ewert в сообщении #419276 писал(а):

Подождите-подождите. Это же просто "по размерности" явно не сходится. Во-первых, как это к корню из икса в квадрате прибавляется икс в квадрате, когда к корню из тэ в квадрате прибавлялся просто тэ. Во-вторых, как это вдруг так лихо отрицательные степени икса превратились в положительные.

Спасибо! Сейчас исправлю и напишу подробнее!!

$$=-\ln |t-\frac{1}{2}+\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2+\frac{15}4}|+C=-\ln |\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\sqrt{(\frac{1}{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{15}4}|+C=-\ln |\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+4}|+C=$$

$$=-\ln |\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\sqrt{1-x+4x^2}|+C$$

[ewert]

Вроде бы верно, только не стоит забывать, что это -- лишь при положительных иксах.

[integral2009]

ewert в сообщении #419288 писал(а):

Вроде бы верно, только не стоит забывать, что это -- лишь при положительных иксах.

Спасибо!!! А почему только при положительных?)

[ewert]

А как Вы икс из-под корня выносите?...

Другое дело, что если хотя бы при положительных иксах это выражение даёт правильный результат (т.е. если его дифференцирование даёт действительно подынтегральную функцию), и если оно осмысленно и при отрицательных иксах -- то, значит, оно верно и для отрицательных. Но легкомыссленничать всё же не стоит.

[integral2009]

ewert в сообщении #419356 писал(а):

А как Вы икс из-под корня выносите?...

Другое дело, что если хотя бы при положительных иксах это выражение даёт правильный результат (т.е. если его дифференцирование даёт действительно подынтегральную функцию), и если оно осмысленно и при отрицательных иксах -- то, значит, оно верно и для отрицательных. Но легкомыссленничать всё же не стоит.

Да, теперь понятно, спасибо!