Одно Неравенство

[PainV]

$\sqrt{a^4+\frac{b^4+c^4}{2}}$+$\sqrt{c^4+\frac{a^4+b^4}{2}}$+$\sqrt{b^4+\frac{c^4+a^4}{2}}$ $\ge$ $\sqrt{a^4+{b^3}c}$+$\sqrt{c^4+{a^3}b}$+$\sqrt{b^4+{c^3}a}$
a,b,c $\ge$ 0

У кого какие идеи?

[arqady]

Возвести обе части неравенства в квадрат, убрать корни и воспользоваться следующим известным неравенством:

$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

[PainV]

Убрать корни?Как?После возведения в квадрат корни не уходят!

[arqady]

PainV в сообщении #418754 писал(а):

Убрать корни?Как?После возведения в квадрат корни не уходят!

Сами они не уйдут. Им надо помочь уйти!
Справа, например, они убираются вот так:
$2\sum\limits_{cyc}\sqrt{(a^4+b^3c)(b^4+c^3a)}\leq2\sum\limits_{cyc}(a^4+a^3b)$.