Уравнение с бесконечным числом вложенных корней

[myra_panama]

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}...}}=4$

ответ x=4
правильно,,??

[SpBTimes]

да

[Dan B-Yallay]

$a^2=xa \rightarrow a=x$

[ewert]

Не обязательно.

[Dan B-Yallay]

$\pm$

[spaits]

myra_panama в сообщении #418315"]$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}...}}=4$

Да.
Вот доказательство (то же, что уже приведено) в других обозначениях.
Обозначим:$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}...}}=y$;$y=4$.
Если в левой части уравнения поставить скобки, то ввиду бесконечности произведения, выражение в скобках равно $y$.
Тогда получаем: $\sqrt{x(\sqrt{x\sqrt{x}...}})=4$; $\sqrt{xy}=4$; $\sqrt{4x}=4$; $4x=16$; $x=4$.

-- Пн фев 28, 2011 14:52:27 --

Dan B-Yallay в сообщении #418349 писал(а):

$\pm$

Корень квадратный из отрицательного числа не извлекается.
Если же Вы решаете в поле комплексных чисел, то поясните подробнее.

[Dan B-Yallay]

обозначаем $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}...}}=a$, тогда

$$a^2=\Big(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}...}}\Big)^2=x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}...}}=xa$$

Почему $x$ непременно равно 4 до меня пока что не доходит.

[SpBTimes]

А в каком месте сомнения?

[AKM]

Dan B-Yallay в сообщении #418360 писал(а):

Почему $x$ непременно равно 4 до меня пока что не доходит.

Может, четвёрка, фигурирующая во первых строках темы (типа $a=4$), поможет докопаться?

[Dan B-Yallay]

Сомнений больше нету. Не заметил этой самой четверкп и находил значение корня.

[dovlato]

Я не понял, а почему не пойти рутинным методом: задаться конечным числом корней $n$ и перейти, если получится, к пределу. В степенном виде $n$-я аппроксимация есть
$x^{\frac 12 +\frac 14+...+\frac 1{2^n}}=x^{1-\frac 1{2^n}}$.
Предел степени, очевидно, единица, на чём вопрос вроде бы и исчерпывается.

[myra_panama]

dovlato в сообщении #418389 писал(а):

$x^{\frac 12 +\frac 14+...+\frac 1{2^n}}=x^{1-\frac 1{2^n}}$.
Предел степени, очевидно, единица, на чём вопрос вроде бы и исчерпывается.

здесь , только будет так
$x^{\frac 12 +\frac 14+\frac18+...$
в степени x это сумма бесконечно малого геометрического прогрессии
$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1$
отсюда вытекает
x=4

[MrDindows]

myra_panama в сообщении #418407 писал(а):

dovlato в сообщении #418389 писал(а):

$x^{\frac 12 +\frac 14+...+\frac 1{2^n}}=x^{1-\frac 1{2^n}}$.
Предел степени, очевидно, единица, на чём вопрос вроде бы и исчерпывается.

здесь , только будет так
$x^{\frac 12 +\frac 14+\frac18+...$
в степени x это сумма бесконечно малого геометрического прогрессии
$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1$
отсюда вытекает
x=4

Это тоже самое...